Seja A B C D um quadrilátero qualquer (plano ou reverso). Prove que A B+B C= A D+D C.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer quadrilátero A B C D, vale a igualdade
A B+B C=A D+D C
O conteúdo aqui é geometria vetorial, mais precisamente a regra do triângulo (ou polígono) para soma de vetores.

Passo 2

Observe o triângulo A B C. A regra do triângulo em vetores diz que, somando os vetores correspondentes a dois lados consecutivos, obtemos o vetor que vai do primeiro vértice ao terceiro. Portanto, no triângulo A B C temos
A B + B C = A C

Passo 3

Agora observe o triângulo A D C. Aplicando a mesma regra do triângulo, somando os vetores de A a D e de D a C, obtemos o vetor de A a C. Logo,
A D + D C = A C

Passo 4

Como ambas as somas de vetores dão o mesmo vetor A C, concluímos que
A B + B C = A C = A D + D C,
isto é, a igualdade desejada se verifica em qualquer quadrilátero.

Resposta

A B+B C=A D+D C.

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