Seja um triang<= A B C e P, Q pontos sobre os lados A B, A C respectivamente. Suponha que A P=lambda A B, A Q=lambda A C, lambda in R.
a) Prove que P Q=lambda B C (você saberia a qual teorema famoso se refere este resultado?).
b) Utilize o resultado de a) para demonstrar o teorema da base média do triângulo, isto é, o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede a metade deste lado.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC e dois pontos Pin AB, Qin AC tais que
AP=lambda,AB e AQ=lambda,AC para algum lambdainR.
O objetivo é:
  1. Provar que PQ=lambda,BC.
  2. Reconhecer que este resultado é o Teorema de Tales em forma vetorial e, em seguida, usá-lo para mostrar o teorema da base média (caso lambda=tfrac12).

Passo 2

Vamos escrever PQ em função das outras vetores. Como
PQ = PA + AQ
e PA=-,AP, substituímos:
PQ = -,AP + AQ = -lambda,AB + lambda,AC = lambdal(AC-ABr)
Agora notamos que
AC-AB =(C-A)-(B-A) =C-B =BC
Portanto
PQ=lambda,BC,
que é justamente a forma vetorial do Teorema de Tales: o segmento que une pontos em lados de um triângulo, tomados em razão igual, é paralelo ao terceiro lado e proporcional a ele.

Passo 3

Para o teorema da base média, escolhemos lambda=tfrac12. Assim P e Q são os pontos médios de AB e AC e
PQ =tfrac12,BC
Isto implica que PQ é paralelo a BC e tem exatamente metade do comprimento de BC.

Resposta

a) PQ=lambda,BC. Este resultado é o Teorema de Tales em forma vetorial.
b) Para lambda=tfrac12, PQ une pontos médios e vale tfrac12BC, provando o teorema da base média.

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