Seja um e pontos sobre os lados respectivamente. Suponha que .
a) Prove que P Q=lambda B C (você saberia a qual teorema famoso se refere este resultado?).
b) Utilize o resultado de a) para demonstrar o teorema da base média do triângulo, isto é, o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede a metade deste lado.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo ABC e dois pontos Pin AB, Qin AC tais que AP=lambda,AB e AQ=lambda,AC para algum lambdainR.
O objetivo é:
Provar que PQ=lambda,BC.
Reconhecer que este resultado é o Teorema de Tales em forma vetorial e, em seguida, usá-lo para mostrar o teorema da base média (caso lambda=tfrac12).
Passo 2
Vamos escrever PQ em função das outras vetores. Como
que é justamente a forma vetorial do Teorema de Tales: o segmento que une pontos em lados de um triângulo, tomados em razão igual, é paralelo ao terceiro lado e proporcional a ele.
Passo 3
Para o teorema da base média, escolhemos lambda=tfrac12. Assim P e Q são os pontos médios de AB e AC e
PQ =tfrac12,BC
Isto implica que PQ é paralelo a BC e tem exatamente metade do comprimento de BC.
Resposta
a) PQ=lambda,BC. Este resultado é o Teorema de Tales em forma vetorial.
b) Para lambda=tfrac12, PQ une pontos médios e vale tfrac12BC, provando o teorema da base média.