Sejam um quadrilátero qualquer e os pontos médios de respectivamente e considere que . Prove que:
a) S=2(A B+C D)=2(A D+C B)
b) S=4 M N
Passo 1
O enunciado considera o quadrilátero ABCD e define
vec S = AB + AD + CB + CD
Queremos provar em (a) que
vec S = 2l(AB+CDr) = 2l(AD+CBr)
e em (b) que vec S = 4,MN, onde M e N são os pontos médios de AC e BD. O conteúdo necessário é: soma de vetores em polígono fechado e fórmula vetorial do ponto médio.
Passo 2
Num polígono fechado ABCD vale a relação
AB + BC + CD + DA = vec0
Dessa soma obtemos
AB + CD = -l(BC + DAr) = AD + CB
Passo 3
Voltemos a vec S. Agrupando termos,
vec S = (AB + CD) + (AD + CB)
Como acabamos de ver que AB + CD = AD + CB,
segue
vec S = 2l(AB + CDr) = 2l(AD + CBr),
o que prova a parte (a).
Passo 4
Para (b), usamos a expressão vetorial do ponto médio. Se O é a origem, então
OM = OA + OC2, ON = OB + OD2
Logo
MN = ON - OM = OB + OD - OA - OC2 = AB + CD2
Passo 5
Da parte (a) sabemos que AB + CD = tfrac12vec S.
Substituindo em MN = tfracAB + CD2 vem