Sejam A B C D um quadrilátero qualquer e M, N os pontos médios de A C, B D respectivamente e considere que S=A B+A D+C B+C D. Prove que:
a) S=2(A B+C D)=2(A D+C B)
b) S=4 M N

Passo 1

O enunciado considera o quadrilátero ABCD e define
vec S = AB + AD + CB + CD
Queremos provar em (a) que
vec S = 2l(AB+CDr) = 2l(AD+CBr)
e em (b) que vec S = 4,MN, onde M e N são os pontos médios de AC e BD. O conteúdo necessário é: soma de vetores em polígono fechado e fórmula vetorial do ponto médio.

Passo 2

Num polígono fechado ABCD vale a relação
AB + BC + CD + DA = vec0
Dessa soma obtemos
AB + CD = -l(BC + DAr) = AD + CB

Passo 3

Voltemos a vec S. Agrupando termos,
vec S = (AB + CD) + (AD + CB)
Como acabamos de ver que
AB + CD = AD + CB,
segue
vec S = 2l(AB + CDr) = 2l(AD + CBr),
o que prova a parte (a).

Passo 4

Para (b), usamos a expressão vetorial do ponto médio. Se O é a origem, então
OM = OA + OC2, ON = OB + OD2
Logo
MN = ON - OM = OB + OD - OA - OC2 = AB + CD2

Passo 5

Da parte (a) sabemos que
AB + CD = tfrac12vec S.
Substituindo em MN = tfracAB + CD2 vem
MN = tfrac12vec S2 = vec S4,
ou seja
vec S = 4,MN,
o que prova a parte (b).

Resposta

a) vec S = 2(AB+CD) = 2(AD+CB)
b) vec S = 4,MN

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