Aponte os pontos positivos e os pontos negativos do Método da bisseç̧ão.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra gente apontar os pontos positivos e negativos do Método da Bisseção. O conteúdo é de Métodos Numéricos (encontrar raízes de funções). Para resolver, a gente vai precisar:
  • Saber como funciona o algoritmo da bisseção (dividir o intervalo e checar sinal)
  • Conhecer o Teorema do Valor Intermediário (para garantir que existe raiz em [a,b])
  • Entender convergência e ordem de convergência (o quão rápido o método chega perto da raiz)

Passo 2

Pontos positivos do Método da Bisseção:
  1. Convergência garantida
    • Graças ao Teorema do Valor Intermediário, se |xn - x^*| <= b-a2^n, , existe pelo menos uma raiz em . A cada iteração a gente mantém esse intervalo, então nunca “perdemos” a raiz.
  2. Controle de erro simples
    • Depois de iterações, o erro está limitado por onde é a raiz exata. Isso permite dizer de cara quantas iterações pra ter a precisão que a gente quiser.
  3. Implementação fácil
    • Basta avaliar a função em pontos médios e ver o sinal. Não precisa de derivada, nem de linearizações complexas.
  4. Robusto e estável
    • Mesmo com ruído na avaliação de , o método continua “trancado” no intervalo certo.

Passo 3

Pontos negativos do Método da Bisseção:
  1. Convergência lenta (ordem 1, linear)
    • Cada iteração reduz o erro pela metade. Em métodos de ordem superior (como Newton, ordem 2) a convergência é bem mais rápida, especialmente quando você já está perto da raiz.
  2. Requer mudança de sinal no intervalo
    • Se não existir com , o método não começa. E às vezes a função muda de sinal mais de uma vez ou oscila, atrapalhando.
  3. Não detecta múltiplas raízes isoladamente
    • Se a raiz for múltipla (por exemplo, ), a bisseção não percebe que é “dupla” e perde eficiência.
  4. Pouco eficiente em avaliações caras
    • Se avaliar for custoso (em engenharia ou simulações), ficar fazendo muitas divisões de intervalo pode sair caro em tempo computacional.

Resposta

Pontos positivos:
  • Convergência garantida (com mudança de sinal)
  • Controle de erro exato:
  • Implementação simples, sem derivadas
  • Robusto a perturbações
Pontos negativos:
  • Convergência lenta (linear)
  • Precisa de intervalo inicial com mudança de sinal
  • Não lida bem com raízes múltiplas
  • Pouco eficiente quando cada avaliação de é cara )

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