Aponte os pontos positivos e os pontos negativos do Método da bisseç̧ão.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede pra gente apontar os pontos positivos e negativos do Método da Bisseção. O conteúdo é de Métodos Numéricos (encontrar raízes de funções). Para resolver, a gente vai precisar:
- Saber como funciona o algoritmo da bisseção (dividir o intervalo e checar sinal)
- Conhecer o Teorema do Valor Intermediário (para garantir que existe raiz em [a,b])
- Entender convergência e ordem de convergência (o quão rápido o método chega perto da raiz)
Passo 2
Pontos positivos do Método da Bisseção:
- Convergência garantida
• Graças ao Teorema do Valor Intermediário, se, existe pelo menos uma raiz em . A cada iteração a gente mantém esse intervalo, então nunca “perdemos” a raiz. - Controle de erro simples
• Depois deiterações, o erro está limitado por onde é a raiz exata. Isso permite dizer de cara quantas iterações pra ter a precisão que a gente quiser. - Implementação fácil
• Basta avaliar a função em pontos médios e ver o sinal. Não precisa de derivada, nem de linearizações complexas. - Robusto e estável
• Mesmo com ruído na avaliação de, o método continua “trancado” no intervalo certo.
Passo 3
Pontos negativos do Método da Bisseção:
- Convergência lenta (ordem 1, linear)
• Cada iteração reduz o erro pela metade. Em métodos de ordem superior (como Newton, ordem 2) a convergência é bem mais rápida, especialmente quando você já está perto da raiz. - Requer mudança de sinal no intervalo
• Se não existircom , o método não começa. E às vezes a função muda de sinal mais de uma vez ou oscila, atrapalhando. - Não detecta múltiplas raízes isoladamente
• Se a raiz for múltipla (por exemplo,), a bisseção não percebe que é “dupla” e perde eficiência. - Pouco eficiente em avaliações caras
• Se avaliarfor custoso (em engenharia ou simulações), ficar fazendo muitas divisões de intervalo pode sair caro em tempo computacional.
Resposta
Pontos positivos:
- Convergência garantida (com mudança de sinal)
- Controle de erro exato:
- Implementação simples, sem derivadas
- Robusto a perturbações
Pontos negativos:
- Convergência lenta (linear)
- Precisa de intervalo inicial com mudança de sinal
- Não lida bem com raízes múltiplas
- Pouco eficiente quando cada avaliação de
é cara )