Das funções abaixo, quais satisfazem o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo?
g(x)=2 sen(x), para x in[0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Ele quer saber se a função

satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo.
Conteúdo: Critério de convergência para ponto fixo, que diz que a gente precisa checar a derivada de g(x) = 2sen(x), xin[0,pi] no intervalo e ver se para todo . Para isso, vamos precisar:
- Calcular a derivada .
- Verificar o máximo de em .

Passo 2

Primeiro, derivada de g'(x) = 2cos(x). Como , usamos a regra básica:

Passo 3

Agora a gente precisa ver se fica sempre abaixo de 1 no intervalo .
  • Em , varia de (em ) até (em ).
  • Então varia de até .
Ou seja, o valor máximo de é 2, e não 1.

Passo 4

O critério de convergência do ponto fixo exige
maxxin[0,pi]lvert g'(x)rvert < 1
Mas aqui a gente achou , que é maior que 1. Portanto o critério não é satisfeito.

Resposta

A função não satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo em .

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