Dada a sequência
obtida pelo método da Bisseç̧ão, é correto afirmar que
para todo valor de
. Justifique.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui? A sequência
vem do método da bisseção, que é um jeitinho de ir pegando o ponto médio de intervalos onde uma função muda de sinal pra achar uma raiz
. O que queremos mostrar é que, a cada passo, o erro atual em relação à raiz,
, nunca ultrapassa a diferença entre as duas últimas aproximações,
.
Matéria: Método da bisseção e estimativa de erro em métodos de aproximação.
O que vamos usar:
Matéria: Método da bisseção e estimativa de erro em métodos de aproximação.
O que vamos usar:
- Propriedade de intervalos aninhados e midpoints.
- Fato de que
é o centro do intervalo . - Que o ponto
é uma das extremidades de .
Passo 2
Primeiro, lembrando rapidinho o método da bisseção:
– Começamos com um intervalo onde
, garantindo uma raiz
lá dentro.
– Em cada passo , definimos
– Começamos com um intervalo
– Em cada passo
e aí escolhemos
como a metade de
que contém a mudança de sinal.
Ou seja, ou ou
.
Importante: esses intervalos vão sendo “aninhados” e ficam cada vez menores, e a raiz está sempre dentro de cada
.
Ou seja, ou
Importante: esses intervalos vão sendo “aninhados” e ficam cada vez menores, e a raiz
Passo 3
Agora, como o
está em
, sabemos que a distância máxima de
até
é metade do tamanho desse intervalo. Em fórmula:
Isso é a estimativa de erro padrão da bisseção: a raiz fica no subintervalo de tamanho
.
Passo 4
Por outro lado, repare que
é exatamente uma das extremidades de
. Se
, então
; senão,
. Aí, como
é o ponto médio de
, a distância de
a essa extremidade vale metade do comprimento do intervalo:
Passo 5
Pronto! Juntando as duas desigualdades:
chegamos direto em