Dada a sequência pn obtida pelo método da Bisseç̧ão, é correto afirmar que
|pn-p| <=|pn-pn-1|
para todo valor de n. Justifique.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui? A sequência vem do método da bisseção, que é um jeitinho de ir pegando o ponto médio de intervalos onde uma função muda de sinal pra achar uma raiz . O que queremos mostrar é que, a cada passo, o erro atual em relação à raiz, , nunca ultrapassa a diferença entre as duas últimas aproximações, .
Matéria: Método da bisseção e estimativa de erro em métodos de aproximação.
O que vamos usar:
  1. Propriedade de intervalos aninhados e midpoints.
  2. Fato de que é o centro do intervalo .
  3. Que o ponto é uma das extremidades de .

Passo 2

Primeiro, lembrando rapidinho o método da bisseção:
– Começamos com um intervalo pk = ak-1 + bk-12, onde , garantindo uma raiz lá dentro.
– Em cada passo , definimos
e aí escolhemos como a metade de que contém a mudança de sinal.
Ou seja, ou ou .
Importante: esses intervalos vão sendo “aninhados” e ficam cada vez menores, e a raiz está sempre dentro de cada .

Passo 3

Agora, como o |pn - p| ;<=; bn-1 - an-12 está em , sabemos que a distância máxima de até é metade do tamanho desse intervalo. Em fórmula:
Isso é a estimativa de erro padrão da bisseção: a raiz fica no subintervalo de tamanho .

Passo 4

Por outro lado, repare que |pn - pn-1| ;=; bn-1 - an-12 é exatamente uma das extremidades de . Se , então ; senão, . Aí, como é o ponto médio de , a distância de a essa extremidade vale metade do comprimento do intervalo:

Passo 5

Pronto! Juntando as duas desigualdades:
|pn - p| ;<=; bn-1 - an-12 e |pn - pn-1| = bn-1 - an-12,
chegamos direto em
boxed|pn - p| ;<=; |pn - pn-1|para todo (n)

Resposta

para todo , porque o erro máximo em cada passo é metade do intervalo ativo, e essa metade é exatamente a distância entre (o novo meio) e (a extremidade do passo anterior).

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