5-Após uma aula de Física no bloco CAA você vai almoçar no restaurante universitário. Para chegar lá você caminha por segmentos de reta. Inicialmente, você se desloca 43 metros do sul para o oeste numa direção que faz 75^{\circ} com o sul. Em seguida, você se desloca por 110 metros pela passarela na direção sul. Sabendo que o RU fica a uma
distância de 220 metros do CAA na direção que faz um ângulo de 50^{\circ} com o oeste, determine a direção e o quanto você deve se deslocar para sair da passarela, na qual caminhou para o sul, para chegar no RU. Para resolver o problema, expresse cada vetor em termos de suas componentes cartesianas e ilustre o problema num gráfico.

Passo 1

O enunciado dá um deslocamento a partir do CAA até o RU em três etapas vetoriais:
\vec v_1: 43 m, partindo do CAA na direção “ 75^\circ a oeste do sul”.
\vec v_2: 110 m para o sul (passarela).
\vec R: vetor fixo CAA→RU de 220 m na direção “ 50^\circ a oeste do sul” (isto é, 50\circ sul de oeste).
O que queremos é o vetor \vec v_3 que, saindo da extremidade de \vec v_2, atinge o RU, de modo que
\vec R = \vec v_1 + \vec v_2 + \vec v_3 \quad\Longrightarrow\quad \vec v_3 = \vec R - (\vec v_1 + \vec v_2).
Para isso, vamos decompor tudo em componentes cartesianas num sistema com eixo x apontando para leste positivo e eixo y para norte positivo.

Passo 2

Decomposição de \vec v_1\): “\(75^\circ\) a oeste do sul” significa partir para o sul (-\(y\)) e girar \(75^\circ\) rumo a oeste (-\(x\)). \[\begin{cases} v_{1x} = -\,43\sin(75^\circ),\\\ v_{1y} = -\,43\cos(75^\circ). \end{cases}
Numericamente, com \sin75^\circ\approx0{,}9659\], \(\cos75^\circ\approx0{,}2588,
v_{1x}\approx -41{,}56\\ \text{m}, \quad v_{1y}\approx -11{,}13\\ \text{m}.

Passo 3

Decomposição de \vec v_2: 110 m diretamente para o sul, logo
v_{2x}=0, \quad v_{2y}=-110\\ \text{m}.

Passo 4

Decomposição de \vec R\): o RU está a \(220\) m “\(50^\circ\) a oeste do sul” (ou seja, \(50\circ\) rumo ao sul a partir do oeste), o que equivale a oeste (-\(x\)) mais componente sul (-\(y\)): \[\begin{cases} R_x = -\,220\cos(50^\circ),\\\ R_y = -\,220\sin(50^\circ). \end{cases}
Com \cos50^\circ\approx0{,}6428\] e \(\sin50^\circ\approx0{,}7660,
R_x\approx -141{,}42\\ \text{m}, \quad R_y\approx -168{,}52\\ \text{m}.

Passo 5

Agora somamos \vec v_1+\vec v_2 e subtraímos de \vec R:
(v_1+v_2)_x = -41{,}56 + 0 = -41{,}56, \quad (v_1+v_2)_y = -11{,}13 + (-110) = -121{,}13.
Portanto
v_{3x} = R_x - (v_1+v_2)_x = -141{,}42 - (-41{,}56) = -99{,}86\\ \text{m},
v_{3y} = R_y - (v_1+v_2)_y = -168{,}52 - (-121{,}13) = -47{,}39\\ \text{m}.

Passo 6

Magnitude de \vec v_3:
|\vec v_3| = \sqrt{(-99{,}86)^2 + (-47{,}39)^2} \approx \sqrt{9\,972 + 2\,245} \approx \sqrt{12\,217} \approx 110{,}5\\ \text{m}.
Direção: o vetor está no 3.º quadrante (componentes negativas em x e y), ou seja, rumo a sudoeste. O ângulo \theta que \vec v_3 faz em relação a oeste (eixo ­ x) mede-se por
\tan\theta = \frac{|v_{3y}|}{|v_{3x}|} = \frac{47{,}39}{99{,}86} \approx 0{,}4749 \quad\Longrightarrow\quad \theta \approx 25{,}4^\circ.
Então \vec v_3 aponta 25{,}4^\circ ao sul de oeste.

Passo 7

Esboço vetorial (esquema não a escala):
RU

/
v_{3}/ ( 25\circ S de W)
/
● B (fim de v_{2})

v_{2} (110 m S)
● A (fim de v_{1})
/
v_{1}/ ( 75\circ O de S)
/
● (CAA)

Resposta

Você deve caminhar aproximadamente 110{,}5 m na direção 25{,}4^\circ ao sul de oeste.

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