1 ^{\text {a }} QUESTÃO (Valor: \mathbf{3 , 0} ): Uma partícula descreve uma trajetória contida num plano, sendo o vetor posição da partícula dado por: \vec{r}=(2 \sin t) \hat{i}+(2 \cos t) \hat{k}, onde as constantes são dadas no sistema SI. Determine:
(a) (Valor: \mathbf{1 , 0} ) o vetor velocidade e o vetor aceleração;
(b) (Valor: \mathbf{1 , 0} ) o módulo da velocidade e o módulo da aceleração;
(c) (Valor: \mathbf{1 , 0} ) a equação da trajetória da partícula.

Passo 1

O enunciado dá a posição \vec r(t)=2\sin t\,\hat i + 2\cos t\,\hat k
e pede (a) os vetores velocidade e aceleração, (b) seus módulos e (c) a equação da trajetória. O conteúdo é cinemática vetorial em 2D usando derivadas.

Passo 2

Para achar o vetor velocidade, derivamos \vec r em relação a t:
\vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt} =\frac{d}{dt}(2\sin t)\,\hat i+\frac{d}{dt}(2\cos t)\,\hat k =2\cos t\,\hat i-2\sin t\,\hat k.
Para obter o vetor aceleração, derivamos \vec v em relação a t:
\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt} =\frac{d}{dt}(2\cos t)\,\hat i+\frac{d}{dt}(-2\sin t)\,\hat k =-2\sin t\,\hat i-2\cos t\,\hat k.

Passo 3

O módulo da velocidade é
|\vec v|=\sqrt{(2\cos t)^2+(-2\sin t)^2} =\sqrt{4(\cos^2t+\sin^2t)} =2.
O módulo da aceleração é
|\vec a|=\sqrt{(-2\sin t)^2+(-2\cos t)^2} =\sqrt{4(\sin^2t+\cos^2t)} =2.

Passo 4

Para achar a equação da trajetória, note x=2\sin t e z=2\cos t. Usando \sin^2t+\cos^2t=1, vem
\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^2=1 \quad\Longrightarrow\quad x^2+z^2=4.

Resposta

(a) \vec v(t)=2\cos t\,\hat i-2\sin t\,\hat k, \vec a(t)=-2\sin t\,\hat i-2\cos t\,\hat k.
(b) |\vec v|=2, |\vec a|=2.
(c) x^2+z^2=4.

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