Após a sua colheita e lavagem, as framboesas são normalmente secas sobre um tabuleiro perfurado através do qual passa ar quente a 30^circ C(mu=1,87 times 10^-5 Pa s, rho=1,168 kg cdot m^-3, Pr=0,7) a uma velocidade de cerca de 2 m cdot s^-1. A pressão de vapor de água a 30^circ C e pA v=4240 Pa e o coeficiente de difusão de água em ar é DA B=0,268 times 10^-4 m^2 cdot s^-1. Nestas condições é válida a seguinte correlação para transferência de calor por convecção forçada: N u=0,41 R e^0,6 P^0,3. Admita que a pressão de vapor de água no ar envolvente é pA infty=813 Pa e que a massa específica da água a 30^circ C é igual a 996 kg cdot m^-3. Se o diâmetro médio de uma framboesa for de 1,5 cm e a camada de água envolvente tiver uma espessura de 0,2 cm, quanto tempo demorará o processo de secagem?
Dica: o tempo de secagem poderá ser estimado a partir da massa de água no filme envolvente e da taxa de transferência de massa.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem framboesas que, depois de lavadas, são secas com ar quente passando por elas. Precisamos calcular quanto tempo leva para secar uma framboesa, considerando o diâmetro dela, a espessura da camada de água e várias propriedades do ar e da água. Vamos usar conceitos de transferência de massa e convecção forçada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa de água que está na camada ao redor da framboesa. Para isso, precisamos do volume dessa água e da densidade da água.
A framboesa tem um diâmetro médio de A = 4pi ( 0,0152 )^2 approx 4pi times (0,0075)^2 approx 4 times 3,1416 times 0,00005625 approx 0,00070686 , m^2 e a espessura da camada de água é V = A times L = 0,00070686 , m^2 times 0,002 , m = 0,00000141372 , m^3 .
O volume da água na camada pode ser aproximado pela área da superfície da framboesa multiplicada pela espessura da camada. A área superficial de uma esfera é m = V times rhoágua = 0,00000141372 , m^3 times 996 , kg/m^3 approx 0,001407 , kg , onde .
Então,
Agora, o volume da água:
A densidade da água é á, então a massa de água é:
á

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a taxa de transferência de massa, ou seja, quanto de água está sendo removido por segundo. Para isso, vamos usar o conceito de número de Sherwood ( Nu = 0,41 , Re^0,6 , Pr^0,3 ), que relaciona o coeficiente de transferência de massa ( Sh = 0,41 , Re^0,6 , Pr^0,3 ) com as propriedades do fluido.
No caso, temos uma correlação para o número de Nusselt ( Re = 1,168 , kg/m^3 times 2 , m/s times 0,015 , m1,87 times 10^-5 , Pacdots approx 0,035041,87 times 10^-5 approx 1873 ) na transferência de calor, que é análogo ao número de Sherwood na transferência de massa. A correlação dada é:
Sh = 0,41 times (1873)^0,6 times (0,7)^0,3 approx 0,41 times 130,2 times 0,877 approx 47,0
Assumindo que k = Sh times DABd = 47,0 times 0,268 times 10^-4 , m^2/s0,015 , m approx 1,259 times 10^-40,015 approx 8,39 times 10^-3 , m/s e são similares, podemos usar a mesma expressão para :
Onde:
  • é o número de Reynolds:
  • é o número de Prandtl: dado
Calculando :
Agora, calculando :
Com o número de Sherwood, podemos encontrar o coeficiente de transferência de massa ( ):

Passo 4

Com o coeficiente de transferência de massa ( dotm = k times A times De) e a área superficial ( C = pR , T ) da framboesa, podemos calcular a taxa de transferência de massa ( Csuperfície = 4240 , Pa287 times 303 approx 424086961 approx 0,0488 , kg/m^3 ) usando:
Cinfty = 813 , Pa287 times 303 approx 81386961 approx 0,0094 , kg/m^3
Onde dotm = 8,39 times 10^-3 , m/s times 0,00070686 , m^2 times 0,0394 , kg/m^3 approx 8,39 times 10^-3 times 0,00070686 times 0,0394 approx 2,34 times 10^-6 , kg/s é a diferença de concentração de água entre a superfície da framboesa e o ar ambiente.
Primeiro, vamos relacionar a pressão de vapor com a concentração. A concentração de vapor de água no ar pode ser calculada usando a equação dos gases ideais:
Onde para o ar e (30°C).
Calculando as concentrações:
í
Então, í
Agora, calculando :

Passo 5

Finalmente, podemos calcular o tempo de secagem ( t = mdotm = 0,001407 , kg2,34 times 10^-6 , kg/s approx 602,56 , s ) dividindo a massa de água pelo fluxo de massa:
t approx 602,56 , s div 60 approx 10,04 , min
Convertendo para minutos:

Resposta

O processo de secagem demorará aproximadamente 10 minutos.

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