Um bloco de massa \mathrm{m}=4,0 \mathrm{~kg} é abandonado do repouso no ponto A , no topo de uma rampa inclinada de \theta=30^{\circ} em relação à horizontal. O ponto A está a uma altura \mathrm{h}=5,0 \mathrm{~m} em relação à base da rampa (ponto B). Considere g=10m/s2.
(a) Supondo que não há atrito entre o bloco e a rampa, determine a velocidade do bloco ao atingir o ponto B.
(b) Agora supondo que existe atrito cinético entre o bloco e a rampa, com coeficiente \mu \mathrm{c}=0,20, determine a velocidade do bloco ao atingir o ponto B.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa m=4,0\\ \mathrm{kg} que é abandonado do repouso no ponto A, no topo de uma rampa inclinada de \theta=30^\circ. O ponto A está a uma altura h=5,0\\ \mathrm{m} acima da base B. Considere g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
As perguntas são:
  1. (a) Supondo que não há atrito, determine a velocidade do bloco ao atingir B.
  2. (b) Supondo atrito cinético com coeficiente \mu_c=0,20, determine a velocidade do bloco ao atingir B.
Informações relevantes listadas:
  • m=4,0\\ \mathrm{kg}
  • \theta=30^\circ
  • h=5,0\\ \mathrm{m}
  • g=10\\ \mathrm{m/s^2}
  • Para (a): atrito desprezível.
  • Para (b): \mu_c=0,20 (força de atrito cinético f_k=\mu_c N).

Passo 2

Método para (a): usar conservação de energia mecânica (energia potencial gravitacional transforma-se em energia cinética). Vou explicar a fórmula e o porquê dela funcionar.
Conservação de energia (sem forças dissipativas): a energia mecânica total é constante. Se o bloco parte do repouso, sua energia inicial é só energia potencial gravitacional E_{p}=mgh. Ao chegar em B toda essa energia passa a ser energia cinética E_{c}=\tfrac{1}{2}mv^2. Portanto:
mgh=\tfrac{1}{2}mv^2.
Aqui:
  • m é a massa do bloco (kg),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s ^2),
  • h é a altura vertical (m),
  • v é a velocidade em B (m/s).
Note que m aparece dos dois lados e cancela: a velocidade não depende da massa.

Passo 3

Aplicando a equação de conservação e cancelando m:
gh=\tfrac{1}{2}v^2 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{2gh}.
Substituindo g=10\\ \mathrm{m/s^2} e h=5,0\\ \mathrm{m}:
v=\sqrt{2\cdot 10\cdot 5,0}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, no caso sem atrito a velocidade em B é 10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Método para (b): agora há atrito cinético. O atrito é uma força não conservativa que dissipa energia, então usamos o princípio trabalho-energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho total das forças (ou seja, energia potencial inicial menos o trabalho realizado pelo atrito = energia cinética final). Em fórmula:
mgh - W_{\text{atrito}}=\tfrac{1}{2}mv^2.
Vou detalhar como calcular W_{\text{atrito}}.

Passo 5

Cálculo da força de atrito e do trabalho:
  • A força normal N sobre o bloco na rampa inclinada é a componente perpendicular do peso: N=mg\cos\theta. Explicando: o peso mg aponta verticalmente para baixo; a componente perpendicular à superfície é mg\cos\theta.
  • A força de atrito cinético tem módulo f_k=\mu_c N=\mu_c mg\cos\theta.
  • O trabalho da força de atrito ao longo do deslocamento ao longo da rampa (comprimento s) é W_{\text{atrito}}=f_k \cdot s. Como o atrito atua contra o movimento, esse trabalho é negativo no balanço de energia; aqui eu já coloquei subtraindo W_{\text{atrito}} na equação acima.

Passo 6

Precisamos do comprimento da rampa percorrido s. Pela geometria do triângulo retângulo formado pela rampa:
\sin\theta=\frac{h}{s}\quad\Rightarrow\quad s=\frac{h}{\sin\theta}.
Para \theta=30^\circ, \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}, então
s=\frac{5,0}{1/2}=10,0\\ \mathrm{m}.
Então o bloco percorre 10,0\\ \mathrm{m} ao descer de A para B.

Passo 7

Agora escrevemos explicitamente a equação energia-trabalho substituindo W_{\text{atrito}}=f_k s=\mu_c mg\cos\theta\cdot s:
mgh-\mu_c mg\cos\theta\;s=\tfrac{1}{2}mv^2.
Notamos que m aparece em todos os termos e pode ser cancelado; simplificando:
gh-\mu_c g\cos\theta\;s=\tfrac{1}{2}v^2.
Como s=\dfrac{h}{\sin\theta}, substituímos:
gh-\mu_c g\cos\theta\cdot\frac{h}{\sin\theta}=\tfrac{1}{2}v^2.
Colocando h e g em evidência:
gh\left(1-\mu_c\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)=\tfrac{1}{2}v^2.
Como \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta, obtemos:
\tfrac{1}{2}v^2=gh\left(1-\mu_c\cot\theta\right).
Portanto
v=\sqrt{2gh\left(1-\mu_c\cot\theta\right)}.
Essa expressão mostra claramente que a massa cancelou: a velocidade depende apenas de g,h,\mu_c,\theta.

Passo 8

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcule \cot 30^\circ. Sabendo \tan 30^\circ=\tfrac{1}{\sqrt{3}}, então \cot 30^\circ=\sqrt{3}\approx 1,732. Com \mu_c=0,20:
1-\mu_c\cot\theta=1-0,20\cdot 1,732=1-0,3464=0,6536.
Agora
v=\sqrt{2\cdot 10\cdot 5,0\cdot 0,6536}=\sqrt{100\cdot 0,6536}=\sqrt{65,36}\approx 8,09\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Resumo numérico dos dois casos (já calculado):
  • (a) sem atrito: v=10\\ \mathrm{m/s}.
  • (b) com \mu_c=0,20: v\approx 8,09\\ \mathrm{m/s}.
Você pode checar rápido que o trabalho dissipado pelo atrito foi aproximadamente 69,28\\ \mathrm{J} (diferença entre mgh=200\\ \mathrm{J} e energia cinética final \approx 130,72\\ \mathrm{J} ), o que reduz a velocidade em relação ao caso sem atrito.

Resposta

v_{(a)}=10\\ \mathrm{m/s}
v_{(b)}\approx 8,09\\ \mathrm{m/s}

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