Um bloco de massa
é abandonado do repouso no ponto A , no topo de uma rampa inclinada de
em relação à horizontal. O ponto A está a uma altura
em relação à base da rampa (ponto B). Considere g=10m/s2.
(a) Supondo que não há atrito entre o bloco e a rampa, determine a velocidade do bloco ao atingir o ponto B.
(b) Agora supondo que existe atrito cinético entre o bloco e a rampa, com coeficiente
, determine a velocidade do bloco ao atingir o ponto B.
(a) Supondo que não há atrito entre o bloco e a rampa, determine a velocidade do bloco ao atingir o ponto B.
(b) Agora supondo que existe atrito cinético entre o bloco e a rampa, com coeficiente
Passo 1
O enunciado dá um bloco de massa
que é abandonado do repouso no ponto
, no topo de uma rampa inclinada de
. O ponto
está a uma altura
acima da base
. Considere
.
As perguntas são:
- (a) Supondo que não há atrito, determine a velocidade do bloco ao atingir
. - (b) Supondo atrito cinético com coeficiente
, determine a velocidade do bloco ao atingir .
Informações relevantes listadas:
-
-
-
-
- Para (a): atrito desprezível.
- Para (b):
(força de atrito cinético ).
Passo 2
Método para (a): usar conservação de energia mecânica (energia potencial gravitacional transforma-se em energia cinética). Vou explicar a fórmula e o porquê dela funcionar.
Conservação de energia (sem forças dissipativas): a energia mecânica total é constante. Se o bloco parte do repouso, sua energia inicial é só energia potencial gravitacional
. Ao chegar em
toda essa energia passa a ser energia cinética
. Portanto:
Aqui:
-
é a massa do bloco (kg), -
é a aceleração da gravidade (m/s ), -
é a altura vertical (m), -
é a velocidade em (m/s).
Note que
aparece dos dois lados e cancela: a velocidade não depende da massa.
Passo 3
Aplicando a equação de conservação e cancelando
:
Substituindo
e
:
Portanto, no caso sem atrito a velocidade em
é
.
Passo 4
Método para (b): agora há atrito cinético. O atrito é uma força não conservativa que dissipa energia, então usamos o princípio trabalho-energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho total das forças (ou seja, energia potencial inicial menos o trabalho realizado pelo atrito = energia cinética final). Em fórmula:
Vou detalhar como calcular
.
Passo 5
Cálculo da força de atrito e do trabalho:
- A força normal
sobre o bloco na rampa inclinada é a componente perpendicular do peso: . Explicando: o peso aponta verticalmente para baixo; a componente perpendicular à superfície é . - A força de atrito cinético tem módulo
. - O trabalho da força de atrito ao longo do deslocamento ao longo da rampa (comprimento
) é . Como o atrito atua contra o movimento, esse trabalho é negativo no balanço de energia; aqui eu já coloquei subtraindo na equação acima.
Passo 6
Precisamos do comprimento da rampa percorrido
. Pela geometria do triângulo retângulo formado pela rampa:
Para
,
, então
Então o bloco percorre
ao descer de
para
.
Passo 7
Agora escrevemos explicitamente a equação energia-trabalho substituindo
:
Notamos que
aparece em todos os termos e pode ser cancelado; simplificando:
Como
, substituímos:
Colocando
e
em evidência:
Como
, obtemos:
Portanto
Essa expressão mostra claramente que a massa cancelou: a velocidade depende apenas de
.
Passo 8
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcule
. Sabendo
, então
. Com
:
Agora
Passo 9
Resumo numérico dos dois casos (já calculado):
- (a) sem atrito:
. - (b) com
: .
Você pode checar rápido que o trabalho dissipado pelo atrito foi aproximadamente
(diferença entre
e energia cinética final
), o que reduz a velocidade em relação ao caso sem atrito.