Após estudar a altura, h(x), em metros, das crianças de uma cidade, um médico obteve a seguinte expressão h=K log (100,7 cdot raiz ), em que x é a idade em anos de cada criança e k é uma constante real positiva. Sabendo que uma criança que possui 4 anos tem altura igual a 100 cm , determine a idade de outra criança que possui altura igual a 120 cm .

Passo 1

O enunciado nos dá a altura em metros de uma criança em função da idade x, segundo a lei
h = K log100,7l(raizxr),
onde K é constante. Sabemos que aos 4 anos (x=4) a criança mede 100 cm = 1 m, e queremos achar a idade de outra que mede 120 cm = 1{,}2 m.

Passo 2

Primeiro, usamos a condição h(4)=1 para determinar K. Substituindo x=4 e h=1 em
1 = K log100,7l(raiz4r) = K log100,7(2),
temos
K = 1log100,7(2)

Passo 3

Agora impomos h(x)=1{,}2 e substituímos K:
1,2 = 1log100,7(2);log100,7l(raizxr)
Multiplicando ambos os lados por log100,7(2) e usando log100,7(raizx)=tfrac12log100,7(x), obtemos
1,2,log100,7(2) = 12log100,7(x)
2,4,log100,7(2) = log100,7(x)

Passo 4

Por fim, reescrevemos a última equação em forma exponencial:
x = 2^2,4
Fazendo o cálculo,
x approx 2^2,4 approx 5,28 anos

Resposta

A criança de 120 cm tem aproximadamente 5,28 anos.

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