Após estudos sobre Equações diferenciais de
ordem, não homogêneas, estudamos como encontrar sua solução particular, que compõe a solução geral da EDO, então, considerando a equação diferencial,
afirmamos que sua Solução particular é:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado (com uma correção óbvia de digitação) nos dá a equação diferencial
e pede qual é a solução particular
da EDO, entre as opções fornecidas:
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Informações relevantes que temos: o lado direito é a soma de um polinômio de grau
(isto é,
) e de uma exponencial
multiplicada por
. A equação linear tem coeficientes constantes.
Passo 2
Vamos achar a solução geral da homogênea associada (essa etapa é necessária para escolher a forma correta da solução particular quando há ressonância). A equação homogênea é
Achar
passa por resolver a equação característica. Monta-se o polinômio característico
Calculando as raízes:
Para uma raiz dupla
a solução geral homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Explicando rapidinho: a ideia é associar exponenciais
às raízes
; se a raiz for dupla aparece o fator
no segundo termo.
Passo 3
Agora escolhemos um ansatz (palpite) para a solução particular
. O lado direito é a soma de duas partes independentes:
- um polinômio de grau
: ; - uma exponencial:
.
Pela técnica de coeficientes a determinar, para um polinômio de grau
tentamos
onde
são constantes a determinar. Só multiplicar por potências de
se essa forma já for solução da homogênea (ressonância). A homogênea tem soluções envolvendo
, não polinômios, então não há ressonância com
; mantemos
.
Para a parte exponencial
tentamos
com
constante. Verificamos ressonância: se
fosse raiz do característico teríamos de multiplicar por
, mas as raízes são
, logo não há ressonância com
. Portanto o ansatz completo é a soma
com
a determinar.
Explicando: juntamos um palpite para cada termo do lado direito; coeficientes livres permitem ajustar para igualar a EDO.
Passo 4
Vamos calcular derivadas e substituir na equação para achar
.
Derivadas de
:
Substituindo na esquerda
:
Agrupando termos polinomiais (em
) e exponenciais:
- Termos em
: . - Termos constantes (polinômio de grau 0):
(vem de e ). - Termos exponenciais
: , ou seja .
Portanto
Isso deve ser igual ao lado direito:
Agora igualamos coeficientes dos termos correspondentes:
- Coeficiente de
: . - Constante livre:
. - Coeficiente de
: .
Resolvem-se:
Logo o palpite concreto é
ou seja
Passo 5
Verificação rápida (opcional): substituindo
como fizemos, a esquerda produz
, que coincide com o lado direito — portanto está correto.
Comparando com as opções dadas, a que coincide é a opção e:
.
Resposta
e.