Após estudos sobre Equações diferenciais de 2^{\mathrm{a}} ordem, não homogêneas, estudamos como encontrar sua solução particular, que compõe a solução geral da EDO, então, considerando a equação diferencial, y^{\prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y=t-1-4 e^{t} afirmamos que sua Solução particular é:
Escolha uma opção:
◯ a. \quad y p=t-3-\frac{1}{4} e^{t}
◯ b. y p=t^{2}+t-\frac{1}{4} e^{t}
◯ c. y p=-3 t+1-\frac{1}{4} e^{t}
◯ d. y p=t-e^{t}
◯ e. y p=t-3-e^{t}

Passo 1

O enunciado (com uma correção óbvia de digitação) nos dá a equação diferencial
y'' + 2y' + y = t - 1 - 4e^{t},
e pede qual é a solução particular y_p da EDO, entre as opções fornecidas:
a. y_p=t-3-\tfrac{1}{4}e^{t}
b. y_p=t^{2}+t-\tfrac{1}{4}e^{t}
c. y_p=-3t+1-\tfrac{1}{4}e^{t}
d. y_p=t-e^{t}
e. y_p=t-3-e^{t}
Informações relevantes que temos: o lado direito é a soma de um polinômio de grau 1 (isto é, t-1) e de uma exponencial e^{t} multiplicada por -4. A equação linear tem coeficientes constantes.

Passo 2

Vamos achar a solução geral da homogênea associada (essa etapa é necessária para escolher a forma correta da solução particular quando há ressonância). A equação homogênea é
y''+2y'+y=0.
Achar y_h passa por resolver a equação característica. Monta-se o polinômio característico
r^{2}+2r+1=0.
Calculando as raízes:
r^{2}+2r+1=(r+1)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad r=-1\\ \text{(raiz dupla)}.
Para uma raiz dupla r=-1 a solução geral homogênea é
y_h = C_{1}e^{-t} + C_{2}t e^{-t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicando rapidinho: a ideia é associar exponenciais e^{rt} às raízes r; se a raiz for dupla aparece o fator t no segundo termo.

Passo 3

Agora escolhemos um ansatz (palpite) para a solução particular y_p. O lado direito é a soma de duas partes independentes:
  • um polinômio de grau 1: t-1;
  • uma exponencial: -4e^{t}.
Pela técnica de coeficientes a determinar, para um polinômio de grau 1 tentamos
y_{p1} = At+B,
onde A,B são constantes a determinar. Só multiplicar por potências de t se essa forma já for solução da homogênea (ressonância). A homogênea tem soluções envolvendo e^{-t}, não polinômios, então não há ressonância com At+B; mantemos At+B.
Para a parte exponencial -4e^{t} tentamos
y_{p2} = Ce^{t},
com C constante. Verificamos ressonância: se r=1 fosse raiz do característico teríamos de multiplicar por t, mas as raízes são -1, logo não há ressonância com e^{t}. Portanto o ansatz completo é a soma
y_p = At + B + C e^{t},
com A,B,C a determinar.
Explicando: juntamos um palpite para cada termo do lado direito; coeficientes livres permitem ajustar para igualar a EDO.

Passo 4

Vamos calcular derivadas e substituir na equação para achar A,B,C.
Derivadas de y_p:
y_p = At + B + C e^{t},
y_p' = A + C e^{t},
y_p'' = C e^{t}.
Substituindo na esquerda y''+2y'+y:
y_p'' + 2y_p' + y_p = (C e^{t}) + 2(A + C e^{t}) + (At + B + C e^{t}).
Agrupando termos polinomiais (em t) e exponenciais:
  • Termos em t: At.
  • Termos constantes (polinômio de grau 0): 2A + B (vem de 2A e B).
  • Termos exponenciais e^{t}: C + 2C + C = 4C, ou seja 4C e^{t}.
Portanto
y_p'' + 2y_p' + y_p = At + (2A+B) + 4C e^{t}.
Isso deve ser igual ao lado direito:
t - 1 - 4e^{t}.
Agora igualamos coeficientes dos termos correspondentes:
  • Coeficiente de t: A = 1.
  • Constante livre: 2A + B = -1.
  • Coeficiente de e^{t}: 4C = -4.
Resolvem-se:
A=1,
2(1) + B = -1 \quad\Rightarrow\quad 2 + B = -1 \quad\Rightarrow\quad B = -3,
4C = -4 \quad\Rightarrow\quad C = -1.
Logo o palpite concreto é
y_p = At + B + Ce^{t} = 1\cdot t + (-3) + (-1)e^{t},
ou seja
y_p = t - 3 - e^{t}.

Passo 5

Verificação rápida (opcional): substituindo y_p=t-3-e^{t} como fizemos, a esquerda produz t-1-4e^{t}, que coincide com o lado direito — portanto está correto.
Comparando com as opções dadas, a que coincide é a opção e: y_p=t-3-e^{t}.

Resposta

e. y_p = t-3-e^{t}

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