Após modelar um sistema linear e invariante no tempo, foi determinado que o mesmo obedece à equação diferencial
sendo
um escalar, a princípio, desconhecido.
(a) Determine a função de transferência
do sistema. Obs: Pode deixar a resposta em função de
.
(b) O sistema é BIBO-Estável? Justifique.
(c) A aplicação da entrada
resultou na saída
. Determine o valor de
.
(a) Determine a função de transferência
(b) O sistema é BIBO-Estável? Justifique.
(c) A aplicação da entrada
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial do sistema
onde
é um escalar desconhecido. Perguntas pedidas:
- (a) Determinar a função de transferência
do sistema (pode deixar em função de ). - (b) O sistema é BIBO-estável? Justificar.
- (c) Sabendo que a entrada foi
e a saída obtida foi , determinar .
Informações relevantes dadas:
- Equação diferencial linear com coeficientes constantes de segunda ordem.
- Entrada para o item (c):
. - Saída observada para o item (c):
. - Não há indicação de condições iniciais no enunciado; para definição de função de transferência usamos a hipótese padrão de condições iniciais nulas (zero).
Passo 2
Conceito e cálculo da função de transferência: a função de transferência
é definida como a razão entre a transformada de Laplace da saída e da entrada sob condições iniciais nulas:
Para obter
aplicamos a transformada de Laplace (com CI nulas) na equação diferencial. A transformada de Laplace de
com CI nulas é
, de
é
e de
é
. Assim a equação transforma-se em:
Passo 3
Isolando a razão
obtemos:
Podemos também fatorar o denominador para visualizar os polos:
Passo 4
Resposta e interpretação para (a): portanto a função de transferência é
(Anotei a fatoração porque ela facilita a discussão sobre estabilidade.)
Passo 5
Critério de BIBO-estabilidade (explicação didática): para sistemas LTI causais com função de transferência racional, uma condição suficiente e necessária para BIBO-estabilidade é que todo polo de
tenha parte real estritamente negativa (i.e., esteja no semiplano esquerdo). Isso porque o impulso resposta
será combinação linear de termos exponenciais
onde
são os polos; se
esses termos decaem exponencialmente e
é absolutamente integrável, garantindo que uma entrada limitada produza saída limitada (BIBO). Se algum polo tiver parte real não-negativa, o impulso resposta não será absolutamente integrável e o sistema não será BIBO-estável.
Passo 6
Aplicando o critério ao nosso
: os polos são as raízes de
, ou seja
e
. Ambos têm parte real negativa. Portanto o impulso resposta é combinação de
e
, que decaem para zero quando
e são integráveis em
. Conclusão para (b): o sistema é BIBO-estável.
Passo 7
Agora vamos ao item (c). Estratégia: usar transformadas de Laplace. Para a entrada
temos sua transformada
Como o sistema é LTI e assumimos CI nulas, temos
. Usando o
do Passo 4:
Passo 8
Agora transformamos
em soma de frações parciais para inverter a Laplace. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Uma forma prática de encontrar
é avaliar essa igualdade em
.
Passo 9
Avaliações:
- Em
: só o termo com sobrevive: . Logo . - Em
: só o termo com sobrevive: . Logo . - Em
: só o termo com sobrevive: . Logo .
Portanto
Passo 10
Invertendo a transformada de Laplace termo a termo (lembrando que
) obtemos a saída teórica do sistema para aquela entrada:
O enunciado diz que a saída observada foi
Comparando coeficientes de cada exponencial (porque as funções
são linearmente independentes), igualamos coeficientes correspondentes:
Passo 11
Resolvendo qualquer uma dessas igualdades (todas são consistentes) dá
Verificação rápida:
também dá
. Então o valor de
é
.
Resposta
Sim. O sistema é BIBO-estável (polos em