Após modelar um sistema linear e invariante no tempo, foi determinado que o mesmo obedece à equação diferencial
\ddot{y}(t)+4 \dot{y}(t)+3 y(t)=k x(t)
sendo k \in \mathbb{R} um escalar, a princípio, desconhecido.
(a) Determine a função de transferência H(s) do sistema. Obs: Pode deixar a resposta em função de k.
(b) O sistema é BIBO-Estável? Justifique.
(c) A aplicação da entrada x(t)=e^{-2 t} u(t) resultou na saída y(t)=\left(2 e^{-t}-\right. \left.4 e^{-2 t}+2 e^{-3 t}\right) u(t). Determine o valor de k.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial do sistema
\ddot{y}(t)+4\dot{y}(t)+3y(t)=k x(t),
onde k\in\mathbb{R} é um escalar desconhecido. Perguntas pedidas:
  1. (a) Determinar a função de transferência H(s) do sistema (pode deixar em função de k).
  2. (b) O sistema é BIBO-estável? Justificar.
  3. (c) Sabendo que a entrada foi x(t)=e^{-2t}u(t) e a saída obtida foi y(t)=\bigl(2e^{-t}-4e^{-2t}+2e^{-3t}\bigr)u(t), determinar k.
Informações relevantes dadas:
  • Equação diferencial linear com coeficientes constantes de segunda ordem.
  • Entrada para o item (c): x(t)=e^{-2t}u(t).
  • Saída observada para o item (c): y(t)=\bigl(2e^{-t}-4e^{-2t}+2e^{-3t}\bigr)u(t).
  • Não há indicação de condições iniciais no enunciado; para definição de função de transferência usamos a hipótese padrão de condições iniciais nulas (zero).

Passo 2

Conceito e cálculo da função de transferência: a função de transferência H(s) é definida como a razão entre a transformada de Laplace da saída e da entrada sob condições iniciais nulas:
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}\quad\text{(condições iniciais iguais a zero).}çõ
Para obter H(s) aplicamos a transformada de Laplace (com CI nulas) na equação diferencial. A transformada de Laplace de \ddot{y}(t) com CI nulas é s^{2}Y(s), de \dot{y}(t) é sY(s) e de y(t) é Y(s). Assim a equação transforma-se em:
s^{2}Y(s)+4sY(s)+3Y(s)=k X(s).

Passo 3

Isolando a razão Y(s)/X(s) obtemos:
\bigl(s^{2}+4s+3\bigr)Y(s)=k X(s)
\Rightarrow H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{k}{s^{2}+4s+3}.
Podemos também fatorar o denominador para visualizar os polos:
s^{2}+4s+3=(s+1)(s+3).

Passo 4

Resposta e interpretação para (a): portanto a função de transferência é
H(s)=\frac{k}{s^{2}+4s+3}=\frac{k}{(s+1)(s+3)}.
(Anotei a fatoração porque ela facilita a discussão sobre estabilidade.)

Passo 5

Critério de BIBO-estabilidade (explicação didática): para sistemas LTI causais com função de transferência racional, uma condição suficiente e necessária para BIBO-estabilidade é que todo polo de H(s) tenha parte real estritamente negativa (i.e., esteja no semiplano esquerdo). Isso porque o impulso resposta h(t) será combinação linear de termos exponenciais e^{p t} onde p são os polos; se \Re(p)<0 esses termos decaem exponencialmente e h(t) é absolutamente integrável, garantindo que uma entrada limitada produza saída limitada (BIBO). Se algum polo tiver parte real não-negativa, o impulso resposta não será absolutamente integrável e o sistema não será BIBO-estável.

Passo 6

Aplicando o critério ao nosso H(s): os polos são as raízes de (s+1)(s+3)=0, ou seja s=-1 e s=-3. Ambos têm parte real negativa. Portanto o impulso resposta é combinação de e^{-t} e e^{-3t}, que decaem para zero quando t\to\infty e são integráveis em [0,\infty). Conclusão para (b): o sistema é BIBO-estável.

Passo 7

Agora vamos ao item (c). Estratégia: usar transformadas de Laplace. Para a entrada x(t)=e^{-2t}u(t) temos sua transformada
X(s)=\mathcal{L}\{e^{-2t}u(t)\}=\frac{1}{s+2},\qquad \Re(s)>-2.
Como o sistema é LTI e assumimos CI nulas, temos Y(s)=H(s)X(s). Usando o H(s) do Passo 4:
Y(s)=\frac{k}{(s+1)(s+3)}\cdot\frac{1}{s+2}=\frac{k}{(s+1)(s+2)(s+3)}.

Passo 8

Agora transformamos Y(s) em soma de frações parciais para inverter a Laplace. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{k}{(s+1)(s+2)(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)(s+3) obtemos
k=A(s+2)(s+3)+B(s+1)(s+3)+C(s+1)(s+2).
Uma forma prática de encontrar A,B,C é avaliar essa igualdade em s=-1,-2,-3.

Passo 9

Avaliações:
  • Em s=-1: só o termo com A sobrevive: k=A(1)(2). Logo A=\dfrac{k}{2}.
  • Em s=-2: só o termo com B sobrevive: k=B(-1)(1). Logo B=-k.
  • Em s=-3: só o termo com C sobrevive: k=C(-2)(-1). Logo C=\dfrac{k}{2}.
Portanto
Y(s)=\frac{k}{2}\cdot\frac{1}{s+1}-k\cdot\frac{1}{s+2}+\frac{k}{2}\cdot\frac{1}{s+3}.

Passo 10

Invertendo a transformada de Laplace termo a termo (lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-at}u(t)) obtemos a saída teórica do sistema para aquela entrada:
y(t)=\left(\frac{k}{2}e^{-t}-k e^{-2t}+\frac{k}{2}e^{-3t}\right)u(t).
O enunciado diz que a saída observada foi
y_{\text{obs}}(t)=\bigl(2e^{-t}-4e^{-2t}+2e^{-3t}\bigr)u(t).
Comparando coeficientes de cada exponencial (porque as funções e^{-t},e^{-2t},e^{-3t} são linearmente independentes), igualamos coeficientes correspondentes:
\frac{k}{2}=2,\qquad -k=-4,\qquad \frac{k}{2}=2.

Passo 11

Resolvendo qualquer uma dessas igualdades (todas são consistentes) dá
\frac{k}{2}=2\quad\Rightarrow\quad k=4.
Verificação rápida: -k=-4 também dá k=4. Então o valor de k é 4.

Resposta

H(s)=\dfrac{k}{s^{2}+4s+3}
Sim. O sistema é BIBO-estável (polos em s=-1 e s=-3, ambos com parte real negativa).
k=4

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