Em um sistema linear e invariante no tempo, foi aplicado o sinal
, resultando na saída
(a) Determine a função de transferência
do sistema.
(b) O sistema é BIBO-Estável? Justifique.
(b) O sistema é BIBO-Estável? Justifique.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear e invariante no tempo alimentado por
e observa a saída
As perguntas são:
(a) Determinar a função de transferência do sistema.
(b) Verificar se o sistema é BIBO-estável e justificar.
(a) Determinar a função de transferência
(b) Verificar se o sistema é BIBO-estável e justificar.
Passo 2
Estratégia de resolução (breve e prática): como temos um sistema LTI causal operando com sinais do tipo exponencial multiplicado por
, a maneira direta é aplicar a Transformada de Laplace em
e
, obter
e
e então calcular
Depois, para a estabilidade BIBO, identificaremos a resposta ao impulso
(inversa de Laplace de
) e veremos se ela é absolutamente integrável. Vou explicar cada fórmula usada.
Passo 3
Recordando a fórmula básica da Transformada de Laplace para exponenciais causais:
Aqui
é constante real e
é a variável complexa da Transformada de Laplace.
Aplicando isso a
:
Aplicando à saída
:
Passo 4
Agora calculamos a função de transferência pela razão:
Multiplicando numerador e denominador por
(para simplificar):
Passo 5
Colocamos tudo sobre um denominador comum
para obter uma forma racional explícita:
Expandindo os termos do numerador:
Somando-os:
Logo o numerador simplifica para
. Assim
Passo 6
Podemos também escrever
em frações simples (útil para obter
). Fazendo decomposição em frações parciais do tipo
obtemos (resolvendo o sistema para
e
)
e
. Portanto
Passo 7
Para obter a resposta ao impulso
, fazemos a transformada inversa (lembrando que
):
Definição prática de BIBO-estabilidade: um sistema LTI causal é BIBO-estável se e somente se a sua resposta ao impulso
for absolutamente integrável, isto é,
Aqui
para
, então o módulo desaparece e calculamos:
Calculando cada integral:
Portanto
Como a integral é finita, o sistema é BIBO-estável. Observação alternativa (curta): os polos de
estão em
e
(ambos no semiplano esquerdo), o que também indica estabilidade causal.
Resposta
(a)
(b) Sim. O sistema é BIBO-estável, pois
é absolutamente integrável e
.