Em um sistema linear e invariante no tempo, foi aplicado o sinal x(t)= 2 e^{-3 t} u(t), resultando na saída y(t)=-e^{-2 t} u(t)+4 e^{-3 t} u(t)-3 e^{-4 t} u(t).
(a) Determine a função de transferência H(s) do sistema.
(b) O sistema é BIBO-Estável? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Critério de BIBO-estabilidade e verificação didática:
Critério prático 1 (pólos): Um sistema LTI causal é BIBO-estável se todos os polos de H(s) têm parte real negativa — então as componentes do impulso resposta decaem exponencialmente.
Critério prático 2 (integrabilidade): O sistema é BIBO-estável se a resposta ao impulso h(t) for absolutamente integrável, isto é
\int_{0}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.
Aplicando o critério dos polos: aqui os polos são s=-2 e s=-4, ambos com parte real negativa, portanto a primeira condição é satisfeita — isso já indica BIBO-estabilidade.
Para ver de forma concreta pelo critério da integrabilidade, usamos a expressão de h(t). Uma desigualdade simples para dar conta do valor absoluto:
Portanto h(t) é absolutamente integrável e o sistema é BIBO-estável.
Resposta
(a) H(s)=\dfrac{s+1}{(s+2)(s+4)}\n
(b) Sim. O sistema é BIBO-estável, pois os polos são s=-2 e s=-4 (partes reais negativas) e a resposta ao impulso h(t)=-\tfrac{1}{2}e^{-2t}u(t)+\tfrac{3}{2}e^{-4t}u(t) é absolutamente integrável.