Considere o sistema linear e invariante no tempo com função de transferência dada por
(a) O sistema é BIBO-Estável? Justifique.
(b) Qual é a entrada
que deve ser aplicada ao sistema para que este resulte na saída
?
(c) Observe a entrada que você obteve no item anterior. Essa entrada é implementável na prática?
(b) Qual é a entrada
(c) Observe a entrada que você obteve no item anterior. Essa entrada é implementável na prática?
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede três coisas:
- (a) Determinar se o sistema é BIBO-estável e justificar.
- (b) Encontrar a entrada
que gera a saída . - (c) Verificar se a entrada encontrada em (b) é implementável na prática.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Dado isso, sabemos que há um polo em
(denominador zero) e um zero em
(numerador zero). Também temos que a saída desejada é
, cuja transformada de Laplace é
. A resolução começará a partir dessas informações.
Passo 2
(a) Critério e ideia para BIBO-estabilidade — o que eu preciso usar e por quê.
- Definição prática que vamos usar: um sistema LTI contínuo é BIBO-estável se a sua resposta ao impulso
for absolutamente integrável, ou seja,
- Para sistemas racionais e causais, isso costuma equivaler a todos os polos de
estarem no semiplano esquerdo (parte real negativa), porque polos com parte real não negativa geram termos não integráveis na resposta ao impulso.
Agora vou obter a resposta ao impulso
a partir de
. Primeiro faço uma divisão/algebra para escrever
de forma conveniente:
Faço a decomposição do tipo “polinomial + parte fracionária”: escrevo
, então
Isso é útil porque sei as transformadas inversas dessas partes:
- A transformada inversa de
(no sentido de função de transferência) corresponde a (impulso). - A transformada inversa de
é .
Portanto, a resposta ao impulso é
Agora verifico a condição de integrabilidade absoluta:
-
. -
Somando (e lembrando do valor absoluto que só muda o sinal do segundo termo se fosse negativo, aqui é positivo ao integrar),
Conclusão parcial:
é absolutamente integrável, logo o sistema é BIBO-estável. (Observação técnica: o pólo está em
— LHP — e o zero em
não afeta a estabilidade do sistema em si.)
Passo 3
(b) Encontrar
tal que
.
Estratégia (por que uso Laplace): para sistemas LTI no domínio contínuo é muito prático usar a transformada de Laplace porque
. Assim, conhecendo
e
eu obtenho
e faço a transformada inversa para voltar ao tempo.
- Calculo
. Como ,
- Uso a relação
para achar :
- Faço decomposição em frações parciais para inverter a transformada:
Quero escrever
Multiplicando por
obtemos
Avalio em valores convenientes para achar
e
:
- Em
: - Em
:
Logo
- Agora aplico transformada inversa termo a termo:
-
. -
(observe que este termo cresce, pois a exponencial tem taxa ).
Assim
Interpretação rápida dos termos: o termo
é uma constante (negativa) aplicada a partir de
; o termo
cresce exponencialmente com tempo.
Passo 4
(c) A entrada encontrada é implementável na prática?
Vamos analisar propriedades físicas relevantes:
- Causalidade:
é causal (multiplicada por , é zero para ). Então não é não-causal — não precisamos de antecipação temporal para aplicá-la. - Boundedness (limitada)/Praticabilidade: o termo
cresce sem limite quando . Ou seja, não é limitada nem de energia finita — cresce exponencialmente. Em termos práticos, não dá para gerar um sinal que cresce indefinidamente; equipamentos têm saturação e limites físicos. Portanto o sinal não é implementável na prática. - Relação com o zero em
: o zero de em (no semiplano direito) implica que a função inversa terá um polo em , ou seja, a inversa é instável. Para obter uma saída constante e limitada a partir deste sistema estável, foi necessário um que explora esse polo instável (aparece o termo ). Esse é o motivo técnico: o sistema tem zero no RHP, tornando o inverso instável — portanto conseguir uma saída simples e limitada pode exigir uma entrada não limitada.
Conclusão: apesar de
ser causal, não é implementável na prática porque contém um termo exponencial crescente (
) que cresce sem limites.
Resposta
(a) Sim.
(b) .
(c) Não.
(b)
(c) Não.