Após passar por um semáforo, um motorista foi parado por um policial. Ao ser notificado que havia furado o sinal vermelho, ele disse ao policial que o desvio Doppler fez a luz vermelha,
650 nm , parecer verde para ele,
. O policial então, deu-lhe uma multa de trânsito por excesso de velocidade. Quão rápido o motorista estava viajando, de acordo com seu próprio testemunho?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o efeito Doppler aplicado à luz. A gente precisa descobrir a que velocidade o motorista estava viajando, baseado na mudança do comprimento de onda da luz que ele viu. Temos que a luz vermelha com λ_verm = 650 nm apareceu verde para ele com λ_verde = 520 nm. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do efeito Doppler para luz e entender como o comprimento de onda se relaciona com a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do efeito Doppler para luz. Quando uma fonte de luz e um observador estão se movendo um em relação ao outro, o comprimento de onda percebido muda. A fórmula é:
Aqui,
- $ \lambda $ é o comprimento de onda original (650 nm),
- $ \lambda’ $ é o comprimento de onda percebido (520 nm),
- $ \beta = \frac{v}{c} $,
- $ v $ é a velocidade que queremos encontrar,
- $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^8 , m/s $).
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Primeiro, calculamos a razão $ \frac{\lambda’}{\lambda} $:
Então, temos:
Passo 4
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ \beta $. Multiplicando ambos os lados por $ 1 + \beta $:
Distribuindo o 0.64:
Passo 6
Vamos reunir os termos com $ \beta $ de um lado e os constantes do outro:
Somando $ \beta $:
Passo 7
Agora, isolamos $ \beta $ dividindo ambos os lados por 1.64:
Passo 8
Lembrando que $ \beta = \frac{v}{c} $, podemos encontrar $ v $:
Resposta
O motorista estava viajando a aproximadamente $ 6.58 \times 10^7 , m/s $ segundo o seu próprio testemunho.