Problema 1
Uma pedra de peso
é atirada verticalmente para cima com velocidade inicial
. Suponha que uma força constante
, devido à resistência do ar, atue sobre a pedra durante o seu percurso.
Resolva esta questão usando conceitos de trabalho e energia.
1a. Mostre que a altura máxima atingida pela pedra é
Resolva esta questão usando conceitos de trabalho e energia.
1a. Mostre que a altura máxima atingida pela pedra é
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente tem uma pedra que é lançada pra cima com uma velocidade inicial
. Enquanto ela sobe, tem uma força constante
agindo contra o movimento devido à resistência do ar. Nosso objetivo aqui é encontrar a altura máxima que a pedra atinge usando os conceitos de trabalho e energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética inicial da pedra é dada por:
onde
é a massa da pedra e
é a velocidade inicial.
Passo 3
Quando a pedra sobe, essa energia cinética vai se transformando em energia potencial gravitacional
e também está sendo gasta para vencer a resistência do ar. A energia potencial é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade e
é a altura máxima que queremos encontrar.
Passo 4
Além disso, o trabalho realizado pela força de resistência do ar é:
Essa força está fazendo trabalho contra o movimento da pedra enquanto ela sobe.
Passo 5
Segundo o princípio da conservação da energia, a energia cinética inicial é igual à soma da energia potencial na altura máxima e do trabalho realizado pela resistência do ar. Então temos:
Passo 6
Vamos isolar
na equação. Primeiro, vamos fatorar
do lado direito:
Passo 7
Agora, resolvendo para
:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão dividindo tudo por
:
Passo 9
Como o peso da pedra
, podemos substituir
na expressão:
Passo 10
Finalmente, multiplicando o numerador e denominador por 2 para simplificar:
Resposta
A altura máxima atingida pela pedra é: