Após as primeiras t horas de uma viagem de 8 horas,um carro percorreu D(t)=64 t+10 t^2 / 3-2 t^3 / 9 quilômetros.
a)Escreva uma expressão para a aceleração do carro em função do tempo.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício de cinemática, que é uma parte da física que estuda o movimento dos corpos. A gente vai trabalhar com derivadas para encontrar a aceleração do carro em função do tempo. A função que nos dá a distância percorrida pelo carro após t horas é D(t) = 64t + 10t^23 - 2t^39 quilômetros. Para encontrar a aceleração, vamos precisar primeiro descobrir a velocidade do carro e depois derivar novamente para chegar na aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade V(t) , derivamos a função D(t) em relação a t .
A função dada é:
D(t) = 64t + 10t^23 - 2t^39
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Derivando D(t) para encontrar a velocidade V(t) :
V(t) = dDdt = ddt(64t) + ddt(10t^23) - ddt(2t^39)
Calculando cada derivada:
ddt(64t) = 64
ddt(10t^23) = 20t3
ddt(2t^39) = 6t^29 = 2t^23
Então, a velocidade fica:
V(t) = 64 + 20t3 - 2t^23

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração A(t) , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, vamos derivar V(t) :
A(t) = dVdt = ddt(64 + 20t3 - 2t^23)
Derivando cada termo:
ddt(64) = 0
ddt(20t3) = 203
ddt(-2t^23) = -4t3
Portanto, a aceleração fica:
A(t) = 0 + 203 - 4t3 = 20 - 4t3

Resposta

A aceleração do carro em função do tempo é:
A(t) = 20 - 4t3 km/h² ²

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