O valor V (em milhares de reais) de uma máquina industrial pode ser modelado pela função
em que N é o número de horas diárias de uso da máquina. Suponha que o uso varia de tal modo que
em que é o número de meses de operação da máquina.
b) A que taxa o valor da máquina estará variando com o tempo daqui a 9 meses? O valor estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o valor de uma máquina industrial, que depende do número de horas diárias de uso . A gente precisa descobrir a que taxa esse valor está mudando com o tempo após 9 meses e se está aumentando ou diminuindo. Para resolver isso, vamos usar o cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que temos:
A função do valor da máquina em relação às horas de uso:
A função das horas de uso em relação ao tempo (meses):
Precisamos encontrar a taxa de variação do valor em relação ao tempo , ou seja, , quando meses.
Passo 3
Para encontrar , vamos usar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. Aqui, é uma função de , e é uma função de . Então, temos:
Passo 4
Vamos primeiro encontrar . Começamos derivando :
Vamos usar a regra do poder e a regra do quociente para derivar essa função.
A taxa de variação do valor da máquina após 9 meses é aproximadamente -0,35 milhares de reais por mês. Isso significa que o valor da máquina está diminuindo nesse momento.