O valor V (em milhares de reais) de uma máquina industrial pode ser modelado pela função
V(N)=(3 N+430N+1)^23
em que N é o número de horas diárias de uso da máquina. Suponha que o uso varia de tal modo que
N(t)=raizt^2+10 t+45
em que t é o número de meses de operação da máquina.
b) A que taxa o valor da máquina estará variando com o tempo daqui a 9 meses? O valor estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o valor V de uma máquina industrial, que depende do número de horas diárias de uso N . A gente precisa descobrir a que taxa esse valor está mudando com o tempo após 9 meses e se está aumentando ou diminuindo. Para resolver isso, vamos usar o cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos:
  • A função do valor da máquina em relação às horas de uso:
V(N) = (3N + 430N + 1)^23
  • A função das horas de uso em relação ao tempo (meses):
N(t) = raizt^2 + 10t + 45
Precisamos encontrar a taxa de variação do valor V em relação ao tempo t , ou seja, dVdt , quando t = 9 meses.

Passo 3

Para encontrar dVdt , vamos usar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. Aqui, V é uma função de N , e N é uma função de t . Então, temos:
dVdt = dVdN cdot dNdt

Passo 4

Vamos primeiro encontrar dVdN . Começamos derivando V(N) :
V(N) = (3N + 430N + 1)^23
Vamos usar a regra do poder e a regra do quociente para derivar essa função.

Passo 5

Aplicando a regra do poder:
dVdN = 23 (3N + 430N + 1)^-13 cdot ddN(3N + 430N + 1)
Agora, precisamos derivar o quociente:
ddN(3N + 430N + 1) = (3)(N + 1) - (3N + 430)(1)(N + 1)^2 = 3N + 3 - 3N - 430(N + 1)^2 = -427(N + 1)^2

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de dVdN :
dVdN = 23 (3N + 430N + 1)^-13 cdot (-427(N + 1)^2) = -8543 cdot 1(N + 1)^2 (3N + 430N + 1)^13

Passo 7

Agora, vamos encontrar dNdt . Lembrando que:
N(t) = raizt^2 + 10t + 45 = (t^2 + 10t + 45)^12
Derivando em relação a t :
dNdt = 12(t^2 + 10t + 45)^-12 cdot (2t + 10) = 2t + 102raizt^2 + 10t + 45 = t + 5raizt^2 + 10t + 45

Passo 8

Agora, colocamos tudo junto na regra da cadeia:
dVdt = dVdN cdot dNdt = -8543 cdot 1(N + 1)^2 (3N + 430N + 1)^13 cdot t + 5raizt^2 + 10t + 45

Passo 9

Agora, substituímos t = 9 na função N(t) :
N(9) = raiz9^2 + 10 cdot 9 + 45 = raiz81 + 90 + 45 = raiz216 = 14.7 (aproximadamente)

Passo 10

Com t = 9 , calculamos dNdt :
dNdtg|t=9 = 9 + 5raiz81 + 90 + 45 = 1414.7 approx 0.95

Passo 11

Calculamos dVdN com N = 14.7 :
Primeiro, encontramos 3N + 430N + 1 :
3 cdot 14.7 + 43014.7 + 1 = 44.1 + 43015.7 = 474.115.7 approx 30.24
Então,
dVdNg|N=14.7 = -8543 cdot 1(15.7)^2 cdot (30.24)^13
Calculando os valores:
(15.7)^2 approx 246.49 (30.24)^13 approx 3.13
Então,
dVdNg|N=14.7 approx -8543 cdot 1246.49 cdot 3.13 approx -8543 cdot 1771.55 approx -8542314.65 approx -0.369

Passo 12

Finalmente, multiplicamos dVdN e dNdt :
dVdtg|t=9 = -0.369 cdot 0.95 approx -0.35

Resposta

A taxa de variação do valor da máquina após 9 meses é aproximadamente -0,35 milhares de reais por mês. Isso significa que o valor da máquina está diminuindo nesse momento.

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