Encontre a área entre as curvas y=x^2-3 e y=x^34-x+1 que vão de x=-2 até x=2.

Passo 1

O enunciado pede a área entre as curvas
y = x^2 - 3 e
y = x^34 - x + 1
no intervalo de x=-2 até x=2.
O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas usando integral definida da diferença entre a função de cima e a função de baixo.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo
x^2 - 3 = x^34 - x + 1
Multiplicando ambos os lados por 4:
4x^2 - 12 = x^3 - 4x + 4 Longrightarrow x^3 - 4x^2 - 4x + 16 = 0
Fatorando por tentativa (x-2), obtemos raízes x=-2,2,4.
No nosso intervalo só aparecem x=-2 e x=2.

Passo 3

Para saber qual curva está por cima em [-2,2], avaliamos em x=0:
f(x)=x^2-3implies f(0)=-3, g(x)=x^34-x+1implies g(0)=1
Logo g(0)>f(0), e como não há outra interseção interna, temos
topo =x^34-x+1, base =x^2-3 forall xin[-2,2]

Passo 4

A área é
integral-2^2l[l(tfracx^34-x+1r) - (x^2-3)r],dx = integral-2^2l(tfracx^34 - x^2 - x + 4r),dx
Calculamos a antiderivada termo a termo:
integral tfracx^34,dx = x^416, integral (-x^2),dx = -x^33, integral (-x),dx = -x^22, integral 4,dx=4x
Assim
F(x) = x^416 - x^33 - x^22 + 4x

Passo 5

Agora avaliamos em x=2 e x=-2:
F(2)=1 - 83 -2 +8 = 133, F(-2)=1 + 83 -2 -8 = -193
Portanto a área vale
F(2)-F(-2) = 133 - l(-193r) = 323

Resposta

323

Exercícios relacionados