Após as primeiras t horas de uma viagem de 8 horas,um carro percorreu D(t)=64 t+10 t^2 / 3-2 t^3 / 9 quilômetros.
b)A que taxa a velocidade do carro está variando em relação ao tempo após 6 horas de viagem?A velocidade está aumentando ou diminuindo nesse instante?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a função que mostra a distância que um carro percorre após t horas, dada por:
D(t) = 64t + 10 t^23 - 2 t^39
A pergunta é: Após 6 horas de viagem, a que taxa a velocidade do carro está variando em relação ao tempo? E a velocidade está aumentando ou diminuindo nesse instante?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar como uma quantidade está mudando em relação a outra (neste caso, a velocidade em relação ao tempo).

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do carro em qualquer instante t . A velocidade é a taxa de variação da distância em relação ao tempo, ou seja, a derivada de D(t) em relação a t :
V(t) = dDdt

Passo 3

Vamos calcular essa derivada:
D(t) = 64t + 10 t^23 - 2 t^39
Derivando cada termo em relação a t :
V(t) = 64 + 20 t3 - 6 t^29
Simplificando:
V(t) = 64 + 20 t3 - 2 t^23

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade V(t) , queremos saber como essa velocidade está mudando com o tempo, ou seja, a aceleração do carro. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
A(t) = dVdt

Passo 5

Vamos calcular a derivada de V(t) :
V(t) = 64 + 20 t3 - 2 t^23
Derivando cada termo em relação a t :
A(t) = 0 + 203 - 4 t3
Simplificando:
A(t) = 20 - 4 t3

Passo 6

Agora, substituímos t = 6 horas na expressão da aceleração:
A(6) = 20 - 4 times 63 = 20 - 243 = -43
A(6) = -43 , km/h^2

Passo 7

A aceleração A(6) = -43 , km/h^2 é negativa, o que significa que a velocidade do carro está diminuindo nesse instante.

Resposta

Após 6 horas de viagem, a taxa de variação da velocidade é de -dfrac43 km/h², ou seja, a velocidade está diminuindo nesse momento.

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