O valor V (em milhares de reais) de uma máquina industrial pode ser modelado pela função
V(N)=(3 N+430N+1)^23
em que N é o número de horas diárias de uso da máquina. Suponha que o uso varia de tal modo que
N(t)=raizt^2+10 t+45
em que t é o número de meses de operação da máquina.
a) Quantas horas por dia a máquina estará sendo usada daqui a 9 meses? Qual será o valor da máquina nessa ocasião?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma máquina industrial cujo valor (V) depende de quantas horas por dia ela é usada (N). Além disso, o uso diário (N) varia com o tempo de operação da máquina em meses (t). A gente precisa descobrir quantas horas por dia a máquina estará sendo usada daqui a 9 meses e qual será o valor dela nessa ocasião. Para resolver isso, vamos usar funções matemáticas que modelam esses relacionamentos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quantas horas por dia a máquina estará sendo usada daqui a 9 meses. A função que relaciona o uso diário (N) com o tempo em meses (t) é:
N(t) = raizt^2 + 10t + 45
Vamos substituir t por 9:
N(9) = raiz9^2 + 10 times 9 + 45

Passo 3

Vamos calcular o que está dentro da raiz primeiro:
9^2 = 81 10 times 9 = 90 81 + 90 + 45 = 216
Então:
N(9) = raiz216

Passo 4

Agora, vamos simplificar a raiz de 216:
raiz216 = raiz36 times 6 = raiz36 times raiz6 = 6raiz6 approx 14,7 horas por dia
Portanto, daqui a 9 meses, a máquina será usada aproximadamente 14,7 horas por dia.

Passo 5

Agora que sabemos N(9), vamos calcular o valor da máquina nesse momento usando a função:
V(N) = (3N + 430N + 1)^23
Vamos substituir N por 14,7:
V(14,7) = (3 times 14,7 + 43014,7 + 1)^23

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o que está dentro da fração:
3 times 14,7 = 44,1 44,1 + 430 = 474,1 14,7 + 1 = 15,7
Então:
V(14,7) = (474,115,7)^23

Passo 7

Vamos dividir 474,1 por 15,7:
474,115,7 approx 30,21
Então:
V(14,7) = (30,21)^23

Passo 8

Agora, para calcular 30,21^23, podemos primeiro calcular a raiz cúbica de 30,21 e depois elevar ao quadrado:
raiz[3]30,21 approx 3,11 (3,11)^2 approx 9,67
Portanto:
V(14,7) approx 9,67 mil reais

Resposta

Daqui a 9 meses, a máquina estará sendo usada aproximadamente 14,7 horas por dia e o valor dela nesse momento será de cerca de R$ 9,67 mil.

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