Após as primeiras t horas de uma viagem de 8 horas,um carro percorreu D(t)=64 t+10 t^2 / 3-2 t^3 / 9 quilômetros.
c)Qual é a variação de velocidade do carro durante a sétima hora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um carro que fez uma viagem de 8 horas e a função que dá a distância total percorrida após t horas é D(t) = 64t + 10t^23 - 2t^39 quilômetros. A pergunta é: qual foi a variação da velocidade do carro durante a sétima hora? Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente as derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade e como ela muda ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da distância em relação ao tempo. Ou seja, se D(t) é a distância, então a velocidade V(t) é V(t) = D'(t) .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de D(t) para encontrar a expressão da velocidade:
V(t) = D'(t) = ddt(64t + 10t^23 - 2t^39)
Calculando cada termo:
ddt(64t) = 64
ddt(10t^23) = 20t3
ddt(-2t^39) = -6t^29 = -2t^23
Então, a velocidade é:
V(t) = 64 + 20t3 - 2t^23

Passo 4

Agora, precisamos entender a “variação da velocidade” durante a sétima hora. Isso pode ser interpretado como a taxa de mudança da velocidade, ou seja, a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade, que seria a segunda derivada da distância.

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada de D(t) para encontrar a aceleração A(t) :
A(t) = V'(t) = D''(t)
Derivando V(t) :
A(t) = ddt(64 + 20t3 - 2t^23)
Calculando cada termo:
ddt(64) = 0
ddt(20t3) = 203
ddt(-2t^23) = -4t3
Então, a aceleração é:
A(t) = 203 - 4t3

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração no momento t = 7 horas:
A(7) = 203 - 4 times 73 = 203 - 283 = -83 km/h² ²

Resposta

A variação da velocidade do carro durante a sétima hora é de -83 km/h².

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