田 Um estudo revela que os investimentos em controle de poluição são eficazes apenas até certo ponto. Suponha que se saiba que,quando o gasto é de
milhões de reais,a porcentagem de decréscimo da poluição é dada por
a)A que taxa a porcentagem de descréscimo da poluição
está variando quando 16 milhões de reais são investidos?A porcentagem está aumentando ou diminuindo para este nível de gastos?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A questão trata de investimentos em controle de poluição e como eles afetam a redução da poluição. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas, para descobrir a taxa de variação da porcentagem de redução da poluição quando se investe uma certa quantia de dinheiro. Precisamos calcular a derivada da função
em
milhões de reais para saber se a porcentagem de redução está aumentando ou diminuindo nesse ponto.
Passo 2
Vamos começar identificando a função que nos foi dada:
Queremos encontrar a taxa de variação de
quando
. Isso significa que precisamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
, e depois avaliar essa derivada em
.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. A regra do quociente diz que:
Aqui,
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, calcule
:
Então,
Agora, calcule
:
Então, o numerador completo é:
Passo 7
Portanto, a derivada fica:
Passo 8
Agora, vamos avaliar
em
.
Primeiro, calcule cada parte:
Agora, substituindo na expressão da derivada:
Resposta
A taxa de variação da porcentagem de redução da poluição quando 16 milhões de reais são investidos é aproximadamente
%. Isso significa que, nesse nível de gastos, a porcentagem de redução da poluição está diminuindo.