田 Um estudo revela que os investimentos em controle de poluição são eficazes apenas até certo ponto. Suponha que se saiba que,quando o gasto é de x milhões de reais,a porcentagem de decréscimo da poluição é dada por
P(x)=100 raizx0,03 x^2+9
a)A que taxa a porcentagem de descréscimo da poluição P(x) está variando quando 16 milhões de reais são investidos?A porcentagem está aumentando ou diminuindo para este nível de gastos?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A questão trata de investimentos em controle de poluição e como eles afetam a redução da poluição. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas, para descobrir a taxa de variação da porcentagem de redução da poluição quando se investe uma certa quantia de dinheiro. Precisamos calcular a derivada da função P(x) em x = 16 milhões de reais para saber se a porcentagem de redução está aumentando ou diminuindo nesse ponto.

Passo 2

Vamos começar identificando a função que nos foi dada:
P(x) = 100 raizx0,03 x^2 + 9
Queremos encontrar a taxa de variação de P(x) quando x = 16 . Isso significa que precisamos calcular a derivada de P(x) em relação a x , ou seja, P'(x) , e depois avaliar essa derivada em x = 16 .

Passo 3

Para encontrar a derivada de P(x) , vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. A regra do quociente diz que:
( f(x)g(x) )' = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2
Aqui, f(x) = 100 raizx e g(x) = 0,03 x^2 + 9 .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de f(x) e g(x) .
Para f(x) = 100 raizx = 100 x^1/2 :
f'(x) = 100 cdot 12 x^-1/2 = 50raizx
Para g(x) = 0,03 x^2 + 9 :
g'(x) = 2 cdot 0,03 x = 0,06 x

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:
P'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 = 50raizx cdot (0,03 x^2 + 9) - 100 raizx cdot 0,06 x(0,03 x^2 + 9)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, calcule 50raizx cdot (0,03 x^2 + 9) :
50raizx cdot 0,03 x^2 = 1,5 x^3/2
50raizx cdot 9 = 450 x^-1/2 = 450raizx
Então, f'(x)g(x) = 1,5 x^3/2 + 450raizx
Agora, calcule 100 raizx cdot 0,06 x :
100 raizx cdot 0,06 x = 6 x^3/2
Então, o numerador completo é:
1,5 x^3/2 + 450raizx - 6 x^3/2 = -4,5 x^3/2 + 450raizx

Passo 7

Portanto, a derivada fica:
P'(x) = -4,5 x^3/2 + 450raizx(0,03 x^2 + 9)^2

Passo 8

Agora, vamos avaliar P'(x) em x = 16 .
Primeiro, calcule cada parte:
x^3/2 = 16^3/2 = (16^1/2)^3 = (4)^3 = 64
raizx = raiz16 = 4
0,03 x^2 + 9 = 0,03 cdot 256 + 9 = 7,68 + 9 = 16,68
(0,03 x^2 + 9)^2 = 16,68^2 approx 278,30
Agora, substituindo na expressão da derivada:
P'(16) = -4,5 cdot 64 + 4504278,30 = -288 + 112,5278,30 = -175,5278,30 approx -0,63

Resposta

A taxa de variação da porcentagem de redução da poluição quando 16 milhões de reais são investidos é aproximadamente -0,63%. Isso significa que, nesse nível de gastos, a porcentagem de redução da poluição está diminuindo.

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