Após ser detectado pelo telescópio espacial Hubble, a posição de um meteoro foi dada por
s(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t, 2012\right)
em que t é o tempo medido em dias. Enquanto foi acompanhado, o corpo celeste percorreu uma distância de 141420000 km . Por quantos dias, aproximadamente, o meteoro foi acompanhado?

Passo 1

O enunciado dá a trajetória do meteoro por
s(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;2012\bigr),
onde t está em dias, e informa que a distância percorrida foi 141420000,km.
Conteúdo usado: comprimento de arco de curva paramétrica, que exige o cálculo de s'(t) e da velocidade \|s'(t)\|.

Passo 2

Calculamos s'(t) coordenada a coordenada:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\cos t\bigr) =e^{t}\cos t - e^{t}\sin t =e^{t}(\cos t-\sin t),
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\sin t\bigr) =e^{t}\sin t + e^{t}\cos t =e^{t}(\sin t+\cos t),
\frac{d}{dt}(2012)=0.
Logo a velocidade é
\|s'(t)\| =\sqrt{\bigl[e^{t}(\cos t-\sin t)\bigr]^{2}+\bigl[e^{t}(\sin t+\cos t)\bigr]^{2}} =e^{t}\sqrt{(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}} =e^{t}\sqrt{2} =\sqrt{2}\,e^{t}.

Passo 3

O comprimento de arco de t=0 até t=T é
L=\int_{0}^{T}\|s'(t)\|\,dt =\int_{0}^{T}\sqrt{2}\,e^{t}\,dt =\sqrt{2}\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{T} =\sqrt{2}\,\bigl(e^{T}-1\bigr).

Passo 4

Impondo L=141420000,km, vem
\sqrt{2}\,(e^{T}-1)=141420000 \quad\Longrightarrow\quad e^{T}-1=\frac{141420000}{\sqrt{2}}=10^{8} \quad\Longrightarrow\quad e^{T}=10^{8}+1.
Tomando logaritmo natural,
T=\ln\bigl(10^{8}+1\bigr)\approx\ln\bigl(10^{8}\bigr)=8\ln(10)\approx8\cdot2,3026\approx18,42.

Resposta

O meteoro foi acompanhado por aproximadamente 18{,}4 dias.

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