Considere a edo:
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}-5 y=0 .
(a) Verifique que y_{1}(x)=x^{5} é uma solução da edo (1).
(b) Use o Método de Redução de Ordem (Teorema D’Alembert) para encontrar a solução geral da edo (1).
(c) Resolva o seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{l} x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}-5 y=0, \\\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=2 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Cauchy–Euler
x^{2}y''-3x\,y'-5y=0
e pede:
(a) verificar que y_{1}(x)=x^{5} é solução;
(b) usar redução de ordem (Teorema de D’Alembert) para achar a solução geral;
(c) resolver o PVI com y(1)=1 e y'(1)=2.

Passo 2

Verificamos (a) calculando y_{1}' e y_{1}'':
y_{1}=x^{5},\quad y_{1}'=5x^{4},\quad y_{1}''=20x^{3}.
Substituindo na EDO:
x^{2}\cdot20x^{3}-3x\cdot5x^{4}-5x^{5} =20x^{5}-15x^{5}-5x^{5}=0,
logo y_{1}(x)=x^{5} é de fato solução.

Passo 3

Para (b), escrevemos a EDO em forma padrão
y''- \frac{3}{x}y'-\frac{5}{x^{2}}y=0,
onde P(x)=-\tfrac{3}{x}. Pelo Teorema de D’Alembert, uma segunda solução é
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{\exp\bigl(-\int P(x)\,dx\bigr)}{y_{1}(x)^{2}}\,dx =x^{5}\int\frac{x^{3}}{(x^{5})^{2}}\,dx =x^{5}\int x^{-7}\,dx =x^{5}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{6}x^{-6}\bigr) \propto x^{-1}.
Assim, podemos tomar y_{2}(x)=x^{-1}.

Passo 4

A solução geral da EDO é combinação linear das duas soluções independentes:
y(x)=C_{1}x^{5}+C_{2}x^{-1}.

Passo 5

Para o PVI (c), impomos as condições em x=1\): \[y(1)=C_{1}+C_{2}=1, \qquad y'(x)=5C_{1}x^{4}-C_{2}x^{-2} \;\Longrightarrow\; y'(1)=5C_{1}-C_{2}=2.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\\\ 5C_{1}-C_{2}=2, \end{cases}
somando as equações vem 6C_{1}=3\], logo \(C_{1}=\tfrac12 e C_{2}=\tfrac12.

Resposta

(a) De fato, ao substituir y_{1}=x^{5} a EDO anula-se.
(b) A solução geral é
y(x)=C_{1}x^{5}+C_{2}x^{-1}.
(c) A solução do PVI é
y(x)=\tfrac12\,x^{5}+\tfrac12\,x^{-1}.

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