Determine para quais valores de
as integrais abaixo convergem e calcule seus valores para esses casos.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência de
dependendo de
e, quando convergir, calcular seu valor.
Conteúdo: integrais impróprias e integração por partes.
Conteúdo: integrais impróprias e integração por partes.
Passo 2
Análise de convergência:
- Em
: , tende a ; não há problema no limite superior. - Em
: use comparação aproximando . Sabe-se que
converge se, e somente se,
. Logo, a integral original converge exatamente para
Passo 3
Para
calculamos a integral por partes. Seja
Então
Logo
Ainda,
portanto
Passo 4
Avaliação de
a
:
Em temos
e
, então
Em
Em
, como
, tanto
quanto
. Logo a contribuição inferior é
.
Resposta
A integral converge se, e somente se,
, e para esses
vale