Determine para quais valores de p as integrais abaixo convergem e calcule seus valores para esses casos.
\int_{0}^{1} x^{p} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência de
\int_{0}^{1} x^{p}\ln x\,dx
dependendo de p e, quando convergir, calcular seu valor.
Conteúdo: integrais impróprias e integração por partes.

Passo 2

Análise de convergência:
  1. Em x=1: \ln1=0, x^{p}\ln x tende a 0; não há problema no limite superior.
  2. Em x\to0^+: use comparação aproximando \ln x\sim -|\ln x|. Sabe-se que
\int_{0}^{\varepsilon} x^{p}|\ln x|\,dx
converge se, e somente se, p>-1. Logo, a integral original converge exatamente para
p>-1.

Passo 3

Para p>-1 calculamos a integral por partes. Seja
u=\ln x,\quad dv=x^{p}dx.
Então
du=\frac{dx}{x},\quad v=\frac{x^{p+1}}{p+1}\quad(p\neq -1).
Logo
\int x^{p}\ln x\,dx =\frac{x^{p+1}}{p+1}\ln x -\int\frac{x^{p+1}}{p+1}\cdot\frac{dx}{x} =\frac{x^{p+1}}{p+1}\ln x -\frac{1}{p+1}\int x^{p}\,dx.
Ainda,
\int x^{p}\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1},
portanto
\int x^{p}\ln x\,dx =\frac{x^{p+1}}{p+1}\ln x -\frac{x^{p+1}}{(p+1)^{2}}+C.

Passo 4

Avaliação de 0 a 1:
Em x=1 temos \ln1=0 e 1^{p+1}=1, então
\left.\frac{x^{p+1}}{p+1}\ln x-\frac{x^{p+1}}{(p+1)^{2}}\right|_{x=1} =0-\frac{1}{(p+1)^{2}}=-\frac{1}{(p+1)^{2}}.
Em x\to0^+, como p+1>0, tanto x^{p+1}\ln x\to0 quanto x^{p+1}\to0. Logo a contribuição inferior é 0.

Resposta

A integral converge se, e somente se, p>-1, e para esses p vale
\int_{0}^{1}x^{p}\ln x\,dx=-\frac{1}{(p+1)^{2}}.

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