Encontre a solução da equação diferencial:
\left(1+t^{2}\right) y^{\prime}+4 t y=\left(1+t^{2}\right)^{-2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
\bigl(1+t^{2}\bigr)\,y'+4t\,y=\bigl(1+t^{2}\bigr)^{-2}.
O conteúdo é o método do fator integrante para equações da forma
y'+P(t)\,y=Q(t).

Passo 2

Começamos dividindo tudo por \,1+t^{2}, a fim de escrever em forma padrão:
y'+\frac{4t}{1+t^{2}}\,y=(1+t^{2})^{-3}.
Aqui P(t)=\frac{4t}{1+t^{2}} e Q(t)=(1+t^{2})^{-3}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t)=\exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{4t}{1+t^{2}}\,dt\Bigr).
Fazendo u=1+t^{2}, temos \,du=2t\,dt, logo
\int \frac{4t}{1+t^{2}}\,dt =2\int \frac{du}{u} =2\ln|u| =2\ln(1+t^{2}).
Assim
\mu(t)=\exp\bigl(2\ln(1+t^{2})\bigr)=(1+t^{2})^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t):
(1+t^{2})^{2}y'+4t\,(1+t^{2})\,y =(1+t^{2})^{2}\,(1+t^{2})^{-3}=(1+t^{2})^{-1}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \mu(t)\,y:
\frac{d}{dt}\Bigl[(1+t^{2})^{2}y\Bigr] =(1+t^{2})^{-1}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
(1+t^{2})^{2}y =\int (1+t^{2})^{-1}\,dt + C =\arctan t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y(t) =\frac{\arctan t + C}{(1+t^{2})^{2}}.

Resposta

y(t)=\frac{\arctan t + C}{(1+t^{2})^{2}},
onde C é a constante de integração.

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