Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime}-y=2 t e^{3}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y' - y = 2\,t\,e^{3},\qquad y(0)=1
O conteúdo aqui é uma EDO linear de primeira ordem. Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int -1\,dt\Bigr) = e^{-t}
Multiplicando a equação por \mu(t), obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-t}\bigr) = 2\,t\,e^{3}\,e^{-t}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em t. À direita aparece
\int 2\,t\,e^{3}\,e^{-t}\,dt = 2\,e^{3}\int t\,e^{-t}\,dt = 2\,e^{3}\bigl(-e^{-t}(t+1)\bigr) + C.
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y\,e^{-t} = -2\,e^{3}\,e^{-t}(t+1) + C.

Passo 4

Isolando y, vem
y = -2\,e^{3}(t+1) + C\,e^{t}.
Aplicando a condição inicial y(0)=1:
1 = -2\,e^{3}\,(0+1) + C \quad\Longrightarrow\quad C = 1 + 2\,e^{3}.

Passo 5

Substituindo C na expressão de y, obtemos
y(t) = (1 + 2\,e^{3})\,e^{t} \;-\; 2\,e^{3}\,(t+1).

Resposta

y(t) = (1 + 2\,e^{3})\,e^{t} - 2\,e^{3}\,(t+1).

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