Após tirar os pés dos pedais, a roda da frente de uma bicicleta gira 200 vezes durante os 10 primeiros segundos e em cada um dos 10 s seguintes ela gira 4/5 do que girou no período anterior. Determine o número de voltas da roda até que a bicicleta pare.

Passo 1

Resumo do problema: Temos uma bicicleta cuja roda da frente gira 200 vezes nos primeiros 10 segundos após tirar os pés dos pedais. A cada 10 segundos seguintes, a roda gira 4/5 do que girou no período anterior. Nosso objetivo é descobrir o número total de voltas da roda até que a bicicleta pare.
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve sequências e séries geométricas. Uma série geométrica é uma soma de termos onde cada termo é resultado da multiplicação do termo anterior por uma constante chamada de razão.
O que vamos precisar para resolver: Identificar que estamos lidando com uma série geométrica e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, identificamos os dados do problema:
  • Primeiro período (primeiros 10 segundos): 200 voltas
  • Razão da série geométrica ®:
Isso significa que a cada 10 segundos, o número de voltas diminui para 80% do valor anterior.

Passo 3

Para encontrar o número total de voltas até que a bicicleta pare, precisamos somar todas as voltas de cada período. Como a bicicleta vai girando menos a cada 10 segundos, temos uma série geométrica infinita.
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Onde:
  • é a soma total da série
  • é o primeiro termo da série
  • é a razão da série (desde que )

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:

Resposta

O número total de voltas da roda até que a bicicleta pare é 1000 voltas.

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