Calcule a área sob o gráfico de y = f(x) entre x = a e x = b, esboçando cada região, se:
f(x) = x^3 - 4 x^2 + 3 x, x = 0, x = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área sob o gráfico da função entre os pontos e . Para isso, vamos usar um conceito de calculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função faz entre e . Nossa função é um polinômio do terceiro grau, então ela pode cruzar o eixo (onde ) mais de uma vez. Vamos encontrar esses pontos para saber onde a função está acima ou abaixo do eixo.

Passo 3

Para encontrar onde , resolvemos a equação:
Podemos fatorar um :
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Então, as raízes são , e . Entre e , os pontos de interesse são e .

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal de em cada intervalo:
  • Para : Vamos escolher :
Portanto, está acima do eixo nesse intervalo.
  • Para : Vamos escolher :
Aqui, está abaixo do eixo .

Passo 5

Com isso, sabemos que precisamos calcular duas áreas:
  1. Área acima do eixo de a .
  2. Área abaixo do eixo de a .
A área total será a soma dessas duas áreas, considerando a área abaixo do eixo como positiva.

Passo 6

Vamos calcular a integral definida de de a :
Integrando termo a termo:
Avaliado em e :
Então, a primeira área é .

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral definida de de a :
Integrando termo a termo:
Avaliado em e :
Simplificando:
Como a área abaixo do eixo é considerada positiva, pegamos o valor absoluto: .

Resposta

A área total sob o gráfico de entre e é:
Portanto, a área é unidades de área.

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