Calcule a área sob o gráfico de
entre
e
, esboçando cada região, se:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área sob o gráfico da função
entre os pontos
e
. Para isso, vamos usar um conceito de calculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função faz entre
e
. Nossa função é um polinômio do terceiro grau, então ela pode cruzar o eixo
(onde
) mais de uma vez. Vamos encontrar esses pontos para saber onde a função está acima ou abaixo do eixo.
Passo 3
Para encontrar onde
, resolvemos a equação:
Podemos fatorar um
:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Então, as raízes são
,
e
. Entre
e
, os pontos de interesse são
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal de
em cada intervalo:
- Para
: Vamos escolher :
Portanto,
está acima do eixo
nesse intervalo.
- Para
: Vamos escolher :
Aqui,
está abaixo do eixo
.
Passo 5
Com isso, sabemos que precisamos calcular duas áreas:
- Área acima do eixo
de a . - Área abaixo do eixo
de a .
A área total será a soma dessas duas áreas, considerando a área abaixo do eixo como positiva.
Passo 6
Vamos calcular a integral definida de
de
a
:
Integrando termo a termo:
Avaliado em
e
:
Então, a primeira área é
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral definida de
de
a
:
Integrando termo a termo:
Avaliado em
e
:
Simplificando:
Como a área abaixo do eixo é considerada positiva, pegamos o valor absoluto:
.
Resposta
A área total sob o gráfico de
entre
e
é:
Portanto, a área é
unidades de área.