Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a série
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem uma soma finita) ou se diverge (não tem uma soma finita). Para isso, vamos usar algumas ferramentas de cálculo de séries, especialmente testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é essa série. Observa-se que cada termo pode ser escrito como
, onde
começa em 1 e vai aumentando:
. Então, podemos reescrever a série como:
Passo 3
Agora, vamos comparar essa série com a série harmônica, que é
. A série harmônica é famosa por ser divergente, ou seja, sua soma cresce sem limite.
Passo 4
Sabemos que se multiplicarmos cada termo da série harmônica por uma constante positiva, como
, a natureza da convergência ou divergência não muda. Então, nossa série
é basicamente a série harmônica dividida por 3.
Passo 5
Já que a série harmônica diverge e multiplicar por uma constante não altera isso, concluímos que a nossa série também diverge. Isso significa que não há uma soma finita para essa série.
Resposta
A série é divergente.