A trajetória de cada oscilação de um pêndulo é 0,93 do comprimento da trajetória da oscilação anterior (de um lado até o outro). Se a trajetória da primeira oscilação mede 56 cm de comprimento e se a resistência do ar leva o pêndulo ao repouso, quanto mede o caminho percorrido pelo pêndulo até que ele pare?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um pêndulo que faz oscilações, e a trajetória de cada nova oscilação é 0,93 vezes a trajetória anterior. A primeira oscilação tem 56 cm. A matéria envolvida aqui é séries geométricas, que ajudam a somar infinitas parcelas que seguem uma certa razão. A gente vai precisar usar a fórmula da soma infinita de uma série geométrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a trajetória de cada oscilação. A primeira oscilação é 56 cm. A segunda será 0,93 vezes isso:
Passo 3
Da mesma forma, a terceira oscilação será 0,93 vezes a segunda:
E assim por diante, cada oscilação é 0,93 da anterior.
Passo 4
Queremos saber a soma de todas essas trajetórias até o pêndulo parar, ou seja, somar todas essas oscilações infinitas. Isso é uma série geométrica infinita, onde o primeiro termo
é 56 cm e a razão
é 0,93.
Passo 5
A fórmula para a soma infinita de uma série geométrica é:
Vamos aplicar isso aqui.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Calculando o valor:
Resposta
O caminho percorrido pelo pêndulo até que ele pare é de 800 cm.