O apótema de um triângulo equilátero mede 4 cm . Determine o lado do triângulo.

Passo 1

O enunciado oferece o apótema de um triângulo equilátero medindo 4 cm e pede o lado do triângulo. O conteúdo aqui é geometria de triângulo equilátero, em que vamos usar as relações entre altura, apótema (incentro) e lado.

Passo 2

Num triângulo equilátero de lado s, a altura h sai de um vértice até o lado oposto, formando dois triângulos retângulos com hipotenusa s e catetos h e s/2. Pelo Teorema de Pitágoras:
h = \sqrt{s^2 - \Bigl(\frac{s}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{s^2 - \frac{s^2}{4}} = \sqrt{\frac{3s^2}{4}} = \frac{s\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

O centro do triângulo equilátero (baricentro e incentro coincidentes) divide a altura na razão 2:1 contado a partir do vértice. Portanto, o apótema a é um terço da altura:
a = \frac{h}{3} = \frac{1}{3}\,\frac{s\sqrt{3}}{2} = \frac{s\sqrt{3}}{6}.

Passo 4

Isolando s em
a = \frac{s\sqrt{3}}{6}
e substituindo a=4 cm, vem
s = \frac{6a}{\sqrt{3}} = \frac{6\cdot4}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}.

Resposta

O lado do triângulo mede 8\sqrt{3} cm.

Exercícios relacionados