Calcule a área do conjunto dado.
A é o conjunto do plano limitado pela reta x=1 e pelos gráficos de y=e^{-2 x} e y=e^{-x}, com x \leq 0

Passo 1

O enunciado pede a área do conjunto A limitado pelas curvas
y = e^{-x},\quad y = e^{-2x}
e pela reta vertical x=1, sendo que essas duas curvas se encontram em x=0.
O tema aqui é cálculo de área entre duas curvas, que se resolve integrando a diferença entre a curva de cima e a de baixo ao longo do intervalo de x que delimita a região.

Passo 2

Precisamos achar onde as duas curvas se interceptam para determinar o intervalo de integração. Resolve-se
e^{-x} = e^{-2x}
tomando logaritmo ou igualando expoentes:
-x = -2x \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Logo, a região está entre x=0 (onde elas se encontram) e x=1 (reta dada).

Passo 3

Em 0\le x\le1, comparando e^{-x} e e^{-2x}, vemos que para x>0 vale
e^{-x}>e^{-2x},
logo y=e^{-x} é a fronteira superior e y=e^{-2x} a inferior. A área é dada por
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl(e^{-x}-e^{-2x}\bigr)\,dx.Á

Passo 4

Calculemos a integral:
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}, \qquad \int e^{-2x}\,dx = -\tfrac12\,e^{-2x}.
Portanto,
\int_{0}^{1}\bigl(e^{-x}-e^{-2x}\bigr)\,dx = \Bigl[-e^{-x}+\tfrac12\,e^{-2x}\Bigr]_{0}^{1}.

Passo 5

Avaliaremos em x=1 e em x=0:
\Bigl(-e^{-1}+\tfrac12 e^{-2}\Bigr) - \Bigl(-e^{0}+\tfrac12 e^{0}\Bigr) = \Bigl(-e^{-1}+\tfrac12 e^{-2}\Bigr) - \Bigl(-1+\tfrac12\Bigr).
Como -1+\tfrac12=-\tfrac12, a área fica
-e^{-1}+\tfrac12 e^{-2} + \tfrac12 =\tfrac12 - e^{-1} + \tfrac12 e^{-2}.
Fatorando \tfrac12, obtemos
\text{Área} =\frac12\bigl(1 + e^{-2}\bigr)-e^{-1} =\frac{1 -2e^{-1}+e^{-2}}{2} =\frac{\bigl(1-e^{-1}\bigr)^{2}}{2}.Á

Resposta

\text{Área}=\frac{\bigl(1-e^{-1}\bigr)^{2}}{2}.Á

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