Calcule a área do conjunto dado.
é o conjunto do plano limitado pela reta
e pelos gráficos de
e
, com
Passo 1
O enunciado pede a área do conjunto
limitado pelas curvas
e pela reta vertical
, sendo que essas duas curvas se encontram em
.
O tema aqui é cálculo de área entre duas curvas, que se resolve integrando a diferença entre a curva de cima e a de baixo ao longo do intervalo de que delimita a região.
O tema aqui é cálculo de área entre duas curvas, que se resolve integrando a diferença entre a curva de cima e a de baixo ao longo do intervalo de
Passo 2
Precisamos achar onde as duas curvas se interceptam para determinar o intervalo de integração. Resolve-se
tomando logaritmo ou igualando expoentes:
Logo, a região está entre
(onde elas se encontram) e
(reta dada).
Passo 3
Em
, comparando
e
, vemos que para
vale
logo
é a fronteira superior e
a inferior. A área é dada por
Passo 4
Calculemos a integral:
Portanto,
Passo 5
Avaliaremos em
e em
:
Como
, a área fica
Fatorando
, obtemos