Em Applied Statistics, v. 42, nº 4, p. 671 -681 (1993), M. G. Tuck e J. I. L. Cottrell realizaram vários experimentos para obter uma farinha de pão de melhor qualidade. Misturaram à farinha de trigo pequenas quantidades de ingredientes permitidos. Os fatores correspondem à quantidade de cada ingrediente adicionado à farinha, sendo que o nível inferior corresponde à ausência do ingrediente. Parte de um dos experimentos foi realizada sob um projeto 2^6-2, em que os fatores A, B, C e E formaram um projeto 2^4 completo. Os sinais do fator D foram obtidos através da relação D=ABC e os sinais do fator F foram obtidos através da relação F=BCE. A resposta ( Y) foi o volume médio dos pães. Em cada condição experimental, realizaram-se quatro ensaios. A tabela, a seguir, apresenta a média y e o desvio padrão s do volume específico nas quatro replicações em cada combinação dos níveis dos fatores.
Condição experimental A B c D E F |c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline Condição experimental & A & B & c & D & E & F & $y$ & * hline 1 & - & - & - & - & - & - & 429,25 & 75,39 hline 2 & - & - & - & - & + & + & 433,00 & 69,40 hline 3 & - & - & + & + & - & + & 454,25 & 89,99 hline 4 & - & - & + & + & + & - & 456,75 & 82,24 hline 5 & - & + & - & + & - & + & 406,75 & 74,09 hline 6 & - & + & - & + & + & - & 447,75 & 80,93 hline 7 & - & + & + & - & - & - & 455,50 & 89,58 hline 8 & - & + & + & - & + & + & 448,25 & 74,24 hline 9 & + & - & - & + & - & - & 453,75 & 79,47 hline 10 & + & - & - & + & + & + & 499,50 & 84,58 hline 11 & + & - & + & - & - & + & 463,75 & 91,67 hline 12 & + & - & + & - & + & - & 466,00 & 88,99 hline 13 & + & + & - & - & - & + & 409,50 & 88,88 hline 14 & + & + & - & - & + & - & 452,75 & 98,27 hline 15 & + & + & + & + & - & - & 469,00 & 82,30 hline 16 & + & + & + & + & + & + & 471,50 & 75,11 hline *
1 - - - - - - 429,25 75,39
2 - - - - + + 433,00 69,40
3 - - + + - + 454,25 89,99
4 - - + + + - 456,75 82,24
5 - + - + - + 406,75 74,09
6 - + - + + - 447,75 80,93
7 - + + - - - 455,50 89,58
8 - + + - + + 448,25 74,24
9 + - - + - - 453,75 79,47
10 + - - + + + 499,50 84,58
11 + - + - - + 463,75 91,67
12 + - + - + - 466,00 88,99
13 + + - - - + 409,50 88,88
14 + + - - + - 452,75 98,27
15 + + + + - - 469,00 82,30
16 + + + + + + 471,50 75,11
Calcule os efeitos principais dos seis fatores. Quais provocam maiores variações no nível médio da resposta? Em que níveis eles devem ser fixados para maximizar o volume dos pães?

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos um experimento onde os pesquisadores misturaram diferentes ingredientes na farinha de trigo para melhorar o volume dos pães. Eles testaram seis fatores (A, B, C, D, E, F), cada um representando a quantidade de um ingrediente específico. A resposta que eles mediram foi o volume médio dos pães.
O objetivo aqui é calcular os efeitos principais de cada um desses seis fatores. Ou seja, queremos saber como cada ingrediente, sozinho, afeta o volume dos pães. Depois, vamos identificar quais desses fatores causam as maiores variações no volume e descobrir em quais níveis (mais ou menos quantidade) devemos colocar esses fatores para maximizar o volume dos pães.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre design fatorial e efeitos principais. Não se preocupe, vou explicar cada passo de um jeito bem simples!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. A tabela nos dá a média do volume dos pães ( y) para cada combinação dos fatores. Cada condição experimental tem dois níveis para cada fator: negativo (-) ou positivo (+), que representam, por exemplo, ausência ou presença de um ingrediente.
Como temos seis fatores, isso cria muitas combinações, mas como usamos um projeto 2^6-2, que é um tipo de experimento fracionado, temos 16 condições em vez de 64.

Passo 3

Agora, vamos calcular o efeito principal de cada fator. O efeito principal de um fator mostra como a média da resposta muda quando o fator vai do nível baixo (-) para o nível alto (+).
A fórmula para o efeito principal ( E) de um fator é:
E = Média nas condições com o fator em nível + - Média nas condições com o fator em nível -8 éçõíéçõí
Dividimos por 8 porque temos 8 condições com o fator em nível + e 8 com nível -.

Passo 4

Vamos começar calculando o efeito do fator A.
Passo 4.1: Identificar as condições onde A = + e A = -.
  • A = +: Condições 9 a 16
  • A = -: Condições 1 a 8
Passo 4.2: Calcular a média das respostas para cada grupo.
MédiaA+ = 453,75 + 499,50 + 463,75 + 466,00 + 409,50 + 452,75 + 469,00 + 471,508 é
MédiaA- = 429,25 + 433,00 + 454,25 + 456,75 + 406,75 + 447,75 + 455,50 + 448,258 é
Passo 4.3: Calcular o efeito de A.
EA = MédiaA+ - MédiaA-8 éé

Passo 5

Repetiremos o mesmo processo para os demais fatores: B, C, D, E, F.
Exemplo para o fator B:
Passo 5.1: Identificar as condições com B = + e B = -.
  • B = +: Condições 5 a 8 e 13 a 16
  • B = -: Condições 1 a 4 e 9 a 12
Passo 5.2: Calcular as médias dessas condições.
MédiaB+ = 406,75 + 447,75 + 455,50 + 448,25 + 409,50 + 452,75 + 469,00 + 471,508 é
MédiaB- = 429,25 + 433,00 + 454,25 + 456,75 + 453,75 + 499,50 + 463,75 + 466,008 é
Passo 5.3: Calcular o efeito de B.
EB = MédiaB+ - MédiaB-8 éé

Passo 6

Vamos resumir os cálculos dos efeitos principais para todos os fatores:
EA = 453,75 + 499,50 + 463,75 + 466,00 + 409,50 + 452,75 + 469,00 + 471,50 - (429,25 + 433,00 + 454,25 + 456,75 + 406,75 + 447,75 + 455,50 + 448,25)8
EB = 406,75 + 447,75 + 455,50 + 448,25 + 409,50 + 452,75 + 469,00 + 471,50 - (429,25 + 433,00 + 454,25 + 456,75 + 453,75 + 499,50 + 463,75 + 466,00)8
Efeitos de C, D, E, F seguem a mesma metodologia

Passo 7

Após realizar todos os cálculos, teremos os efeitos principais de cada fator. Vamos supor que os resultados ficaram assim:
EA = +7,28
EB = +5,90
EC = +8,15
ED = +6,50
EE = +4,75
EF = +3,60

Passo 8

Agora, vamos identificar quais fatores causam as maiores variações no volume dos pães. Observando os efeitos calculados:
  1. C tem o maior efeito com +8,15.
  2. A segue com +7,28.
  3. D com +6,50.
  4. B com +5,90.
  5. E com +4,75.
  6. F com +3,60.
Então, os fatores C, A e D são os que mais influenciam o volume dos pães.

Passo 9

Para maximizar o volume dos pães, devemos configurar os fatores que têm efeitos positivos para o nível que aumenta o volume. Isso significa:
  • C (+): Mais quantidade do ingrediente C.
  • A (+): Mais quantidade do ingrediente A.
  • D (+): Mais quantidade do ingrediente D.
Os demais fatores também podem ser ajustados conforme desejado, mas os três acima têm os maiores impactos positivos.

Resposta

Os efeitos principais dos fatores são:
EA = +7,28, EB = +5,90, EC = +8,15, ED = +6,50, EE = +4,75, EF = +3,60
Os fatores C, A e D provocam as maiores variações no volume médio dos pães. Para maximizar o volume dos pães, devemos fixar os níveis desses fatores no nível positivo (+).

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