Para avaliar o efeito dos fatores: (A) tempo de hidratação (14 dias/28 dias), (B) relação Água/cimento (0,38 e 0,58) e © tipo de cimento (comum e pozolânico) na resistência à compressão de um concreto ( Y), realizou-se um experimento cujos resultados da resistência (em MPa) são apresentados a seguir: ^11
Tipo de elemento Relação agua/cimento Tempo de hidratação
14 dias 28 dias
comum |c|c|c|c| hline mu 23,1 42,2
12,0 27,9
pozolânico 0,38 24,3 39,5
0,58 11,1 24,3
Calcule os efeitos principais e as interações de segunda ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de um experimento que analisa como três fatores influenciam a resistência à compressão do concreto. Os fatores são:
  • A) Tempo de Hidratação: 14 dias e 28 dias
  • B) Relação Água/Cimento: 0,38 e 0,58
  • C) Tipo de Cimento: Comum e Pozolânico
Nosso objetivo é calcular os efeitos principais de cada fator e as interações de segunda ordem entre eles. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de análise de variância e como decompor os efeitos individuais e combinados desses fatores.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados fornecidos em uma tabela para facilitar nossos cálculos:
|c|c|c|c| hline Tipo de E<=mento & Relação Água/Cimento & 14 dias & 28 dias hline Comum & 0,38 & 23,1 & 42,2 hline & 0,58 & 12,0 & 27,9 hline Pozolânico & 0,38 & 24,3 & 39,5 hline & 0,58 & 11,1 & 24,3 hline çãÁâ

Passo 3

Vamos calcular a média geral (G) de todas as observações para utilizá-la no cálculo dos efeitos. Somamos todos os valores e dividimos pelo número total de observações.
G = 23,1 + 42,2 + 12,0 + 27,9 + 24,3 + 39,5 + 11,1 + 24,38 = 2038 = 25,375 MPa

Passo 4

Agora, vamos calcular as médias marginais para cada nível de cada fator.
  • Fator A (Tempo de Hidratação):
    • 14 dias: MédiaA14 = 23,1 + 12,0 + 24,3 + 11,14 = 70,54 = 17,625 MPa é
    • 28 dias: MédiaA28 = 42,2 + 27,9 + 39,5 + 24,34 = 133,94 = 33,475 MPa é
  • Fator B (Relação Água/Cimento):
    • 0,38: MédiaB0,38 = 23,1 + 24,32 = 47,42 = 23,7 MPa é
    • 0,58: MédiaB0,58 = 12,0 + 27,9 + 11,1 + 24,34 = 75,34 = 18,825 MPa é
  • Fator C (Tipo de Cimento):
    • Comum: MédiaCComum = 23,1 + 42,2 + 12,0 + 27,94 = 105,24 = 26,3 MPa é
    • Pozolânico: MédiaCPozolânico = 24,3 + 39,5 + 11,1 + 24,34 = 99,24 = 24,8 MPa éâ

Passo 5

Agora, vamos calcular os efeitos principais de cada fator. O efeito principal de um fator é a diferença entre a média do nível alto e a média do nível baixo desse fator.
  • Efeito Principal A (Tempo de Hidratação):
    EA = MédiaA28 - MédiaA14 = 33,475 - 17,625 = 15,85 MPa éé
  • Efeito Principal B (Relação Água/Cimento):
    EB = MédiaB0,38 - MédiaB0,58 = 23,7 - 18,825 = 4,875 MPa éé
  • Efeito Principal C (Tipo de Cimento):
    EC = MédiaCComum - MédiaCPozolânico = 26,3 - 24,8 = 1,5 MPa ééâ

Passo 6

Vamos agora calcular as interações de segunda ordem entre os fatores. Isso significa verificar como a combinação de dois fatores afeta a resistência de forma conjunta, além dos efeitos individuais.
Para calcular a interação entre A e B ($ E_{AB} $), usamos a seguinte fórmula:
EAB éééé
Vamos identificar os valores necessários:
  • EAB = (MédiaA28,B0,38 - MédiaA28,B0,58) - (MédiaA14,B0,38 - MédiaA14,B0,58) é
  • MédiaA28,B0,38 = 42,2é
  • MédiaA28,B0,58 = 27,9é
  • MédiaA14,B0,38 = 23,1é
Calculando:
MédiaA14,B0,58 = 12,0
Fazemos o mesmo para as outras interações:
  • Interação A e C ($ E_{AC} $):
EAB = (42,2 - 27,9) - (23,1 - 12,0) = 14,3 - 11,1 = 3,2 MPa ééâééâ
EAC
  • Interação B e C ($ E_{BC} $):
EAC = (MédiaA28,CComum - MédiaA28,CPozolânico) - (MédiaA14,CComum - MédiaA14,CPozolânico) ééâééâ
EAC = (27,9 - 24,3) - (23,1 - 24,3) = 3,6 - (-1,2) = 4,8 MPa

Passo 7

Resumo dos efeitos calculados:
  • Efeitos Principais:
    • $ E_A = 15,85 MPa $
    • $ E_B = 4,875 MPa $
    • $ E_C = 1,5 MPa $
  • Interações de Segunda Ordem:
    • $ E_{AB} = 3,2 MPa $
    • $ E_{AC} = 4,8 MPa $
    • $ E_{BC} = -2,1 MPa $

Resposta

Os efeitos principais e as interações de segunda ordem são:
  • Efeitos Principais:
    • Tempo de Hidratação (A): 15,85 MPa
    • Relação Água/Cimento (B): 4,875 MPa
    • Tipo de Cimento ©: 1,5 MPa
  • Interações de Segunda Ordem:
    • A × B: 3,2 MPa
    • A × C: 4,8 MPa
    • B × C: -2,1 MPa

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