Apresenta-se um conjunto com as operaçōes de adição e multipticação por escalar nele definidas. Verificar quais deles sảo espaços vetoriais. Para aqueles que nāo sāo espaços vetoriais, citar os axiomas que nāo se verificam.
com as operações usuais

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
A = 0 & a [6pt] b & 0in M(2,2)mid a,binR
com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar.
Queremos verificar se A é um espaço vetorial sobre R. Para isso, vamos checar os principais axiomas (fechamento em soma e escalar, existência do zero e inversos) e usar o fato de que, sendo subconjunto de M(2,2), todos os outros axiomas são herdados.]

Passo 2

Verificamos o fechamento de A sob adição. Tomemos
M1 = 0 & a1 b1 & 0, M2 = 0 & a2 b2 & 0
com ai,biinR. Então
M1 + M2 = 0 & a1 b1 & 0 + 0 & a2 b2 & 0 = 0 & a1 + a2 b1 + b2 & 0
Esse resultado ainda está em A, pois as entradas da diagonal continuam nulas e as outras são números reais.

Passo 3

Verificamos o fechamento de A sob multiplicação por escalar. Seja cinR e
M = 0 & a b & 0in A
Então
c,M = 0 & c,a c,b & 0,
que também está em A, pois continua com zeros na diagonal e c,a,,c,binR.

Passo 4

Checamos a existência do elemento neutro aditivo em A. O zero do espaço M(2,2) é
0M(2,2) = 0 & 0 0 & 0,
e claramente pertence a A (basta tomar a=b=0). Logo, A contém o neutro da adição.

Passo 5

Checamos a existência do inverso aditivo. Para
M=0 & a b & 0in A,
temos
-,M = 0 & -a -b & 0in A
Portanto, todo elemento de A tem inverso aditivo em A.

Passo 6

Como A está fechado em soma e escalar, contém o vetor zero e inversos aditivos, e todos os demais axiomas (associatividade, comutatividade da adição, distributividade etc.) são herdados de M(2,2), concluímos que A é subespaço de M(2,2) e, portanto, é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

A é um espaço vetorial (todos os axiomas se verificam).

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