Apresenta-se um conjunto com as operaçōes de adição e multipticação por escalar nele definidas. Verificar quais deles sảo espaços vetoriais. Para aqueles que nāo sāo espaços vetoriais, citar os axiomas que nāo se verificam.
com as operações usuais
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar.
Queremos verificar se é um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos checar os principais axiomas (fechamento em soma e escalar, existência do zero e inversos) e usar o fato de que, sendo subconjunto de , todos os outros axiomas são herdados.]
Passo 2
Verificamos o fechamento de sob adição. Tomemos
com . Então
Esse resultado ainda está em , pois as entradas da diagonal continuam nulas e as outras são números reais.
Passo 3
Verificamos o fechamento de sob multiplicação por escalar. Seja e
Então
que também está em , pois continua com zeros na diagonal e .
Passo 4
Checamos a existência do elemento neutro aditivo em . O zero do espaço é
e claramente pertence a A (basta tomar a=b=0). Logo, A contém o neutro da adição.
Passo 5
Checamos a existência do inverso aditivo. Para
M=0 & a b & 0in A,
temos
-,M = 0 & -a -b & 0in A
Portanto, todo elemento de A tem inverso aditivo em A.
Passo 6
Como A está fechado em soma e escalar, contém o vetor zero e inversos aditivos, e todos os demais axiomas (associatividade, comutatividade da adição, distributividade etc.) são herdados de M(2,2), concluímos que A é subespaço de M(2,2) e, portanto, é um espaço vetorial sobre R.
Resposta
A é um espaço vetorial (todos os axiomas se verificam).