Faça o que se pede em cada item:
(d) Mostre que a matriz D=[rr4 & -4 -6 & 16] pode ser escrita como combinação linear das matrizes A=[ll1 & 2 3 & 4], B=[rr-1 & 2 3 & -4] e C=[rr1 & -2 -3 & 4].

Passo 1

O enunciado pede para escrever
D = 4 & -4-6 & 16
como combinação linear das matrizes
A = 1 & 23 & 4, B = -1 & 23 & -4, C = 1 & -2-3 & 4
O conteúdo é “combinação linear em M2times2”: basta achar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha A + beta B + gamma C = D

Passo 2

Escrevendo a combinação genérica e igualando entradas, temos
alpha1 & 23 & 4 +beta-1 & 23 & -4 +gamma1 & -2-3 & 4 = 4 & -4-6 & 16
Isso gera o sistema de equações:
(1,1) ;alpha - beta + gamma = 4
(1,2) ;2alpha +2beta -2gamma = -4
(2,1) ;3alpha +3beta -3gamma = -6
(2,2) ;4alpha -4beta +4gamma = 16

Passo 3

Observe que a equação de (2,2) é
Assim temos só duas condições independentes:
Somando-as: . Substituindo em
Portanto existe infinitas soluções
, , livre .

Passo 4

Para encontrar uma combinação simples, escolhemos beta=0. Então
alpha=1 e gamma=3, o que dá
D = 1cdot A + 0cdot B + 3cdot C = A + 3,C

Resposta

D = A + 3,C.

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