São apresentados subconjuntos de R^3. Verificar quais sāo seus subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Para os que são subespaços, mostrar que as duas condiçōes estão satisfeitas. Caso contrário, citar um con-tra-exemplo.
S=(4 t, 2 t,-1) ; t in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = (4t,2t,-1)mid tinR
é subespaço de R^3 com as operações usuais. Lembrando que, para ser subespaço, S deve satisfazer pelo menos:
  1. 0in S.
  2. Se uin S e lambdainR então lambda uin S.
  3. Se u,vin S então u+vin S.

Passo 2

Note que todo vetor em S tem terceira coordenada igual a -1. Em particular, escolha
v = (4cdot1,2cdot1,-1) = (4,2,-1)in S
e o escalar lambda=0. Então
0cdot v = (0,0,0)
Mas (0,0,0) não pode ser escrito na forma (4t,2t,-1), pois sua terceira componente é 0neq -1. Logo 0cdot vnotin S, ou seja, S não é fechado na multiplicação por escalar (nem contém o vetor zero).

Resposta

S não é subespaço de R^3.

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