A combinação linear, importante procedimento em espaços e subespaços vetoriais, é capaz de criar inúmeros vetores do espaço em questão, se os vetores primordialmente escolhidos forem LI. Considerando os vetores indicados por:
\begin{gathered} u_{1}=(3,2,1) \\\ u_{2}=(1,0,1) \\\ u_{3}=(4,0,0) \\\ u=a_{1} \cdot u_{1}+a_{2} \cdot u_{2}+a_{3} \cdot u_{3} \end{gathered}

Julgue as alternativas:

I) O vetor (-7,-4,1) pode ser encontrado quando a_{1}=-2, a_{2}=3, a_{3}=-1
II) O vetor (25,10,3) pode ser encontrado quando a_{1}=5, a_{2}=-2, a_{3}=3
III) O vetor ( 8,2,2 ) pode ser encontrado quando a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=1
IV) O vetor (13,5,6) pode ser encontrado quando a_{1}=3, a_{2}=2, a_{3}=1
Texto elaborado pelo Professor, 2018.
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
u_{1}=(3,2,1),\quad u_{2}=(1,0,1),\quad u_{3}=(4,0,0),
e define
u = a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + a_{3}u_{3}.
A tarefa é verificar, para cada alternativa, se o vetor indicado coincide com u para os valores dados de a_{1},a_{2},a_{3}. O conteúdo usado é combinação linear de vetores.

Passo 2

Vamos expressar as componentes de
u = a_{1}(3,2,1) + a_{2}(1,0,1) + a_{3}(4,0,0).
Somando componente a componente:
u = \bigl( 3a_{1} + a_{2} + 4a_{3},\; 2a_{1},\; a_{1} + a_{2} \bigr).

Passo 3

Verificação da I: para (a_{1},a_{2},a_{3}) = (-2,3,-1) queremos (-7,-4,1).
3(-2)+3+4(-1) = -6+3-4 = -7,\quad 2(-2)=-4,\quad (-2)+3=1.
Coincide em todas, logo a I é verdadeira.

Passo 4

Verificação da II: para (5,-2,3) queremos (25,10,3).
3\cdot5 + (-2) + 4\cdot3 = 15-2+12 = 25,\quad 2\cdot5 = 10,\quad 5 + (-2) = 3.
Tudo bate, então a II é verdadeira.

Passo 5

Verificação da III: para (1,1,1) queremos (8,2,2).
3\cdot1 + 1 + 4\cdot1 = 3+1+4 = 8,\quad 2\cdot1 = 2,\quad 1+1 = 2.
Também coincide, logo a III é verdadeira.

Passo 6

Verificação da IV: para (3,2,1) querem (13,5,6).
3\cdot3 + 2 + 4\cdot1 = 9+2+4 = 15\neq 13,\quad 2\cdot3 = 6\neq 5,\quad 3+2 = 5\neq 6.
Não bate, então a IV é falsa.

Resposta

I, II e III são corretas.

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