O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia.
Considere a transformação abaixo:
T(x, y)=(x, 3 x+2 y)
Quais os autovalores e autovetores relacionados a transformação?
Elaborado pelo Professor, 2023.

Passo 1

Resumimos o enunciado: dada a transformação T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (x,\;3x + 2y),
queremos encontrar os autovalores e autovetores. Para isso representamos T pela matriz em relação à base canônica e calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I).

Passo 2

Obtemos a matriz de T na base canônica observando que T(e_1)=T(1,0)=(1,3) e T(e_2)=T(0,1)=(0,2). Logo,
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 3 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

O polinômio característico é dado por
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 \\[4pt] 3 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)\,(2-\lambda).]

Passo 4

Resolvendo (1-\lambda)(2-\lambda)=0 obtemos os autovalores
\lambda_1 = 1 e \lambda_2 = 2.

Passo 5

Para \lambda_1=1 resolvemos (A - I)v=0, ou seja,
\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
A segunda equação dá 3x + y = 0, então y = -3x. Os autovetores associados são múltiplos de \bigl(1,\,-3\bigr).]

Passo 6

Para \lambda_2=2 resolvemos (A - 2I)v=0, ou seja,
\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira equação vem x=0 e y é livre. Assim, os autovetores associados são múltiplos de \bigl(0,\,1\bigr).]

Resposta

Autovalores:
\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2.
Autovetores:
para \lambda_1=1: múltiplos de \bigl(1,-3\bigr),
para \lambda_2=2: múltiplos de \bigl(0,1\bigr).

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