Apresentados os seguintes momentos de inércia e velocidades angulares do eixo principal transversal, calcule o momento angular de cada um dos seguintes ginastas em relação ao centro de massa. Supondo que a massa da cada parte do corpo esta girando a 30 cm do seu centro de massa. Calcule o novo momento angular.
A massa 3 kg
3,5
20,00
B massa 4 kg
7,0
10,00
C massa 5 kg
15,0
4,67
|
|
|
|
| A massa 3 kg | 3,5 | 20,00 |
| B massa 4 kg | 7,0 | 10,00 |
| C massa 5 kg | 15,0 | 4,67 |
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o momento angular de cada ginasta em relação ao centro de massa (antes de deslocar as massas).
- Supondo que cada parte do corpo (cada massa) passa a girar a
do seu próprio centro de massa, calcular o novo momento angular de cada ginasta.
Dados fornecidos (tirados da tabela do enunciado):
- Massa A:
, , . - Massa B:
, , . - Massa C:
, , . - Deslocamento pedido:
.
Passo 2
Fórmula do momento angular em torno do centro de massa (explicação didática):
- O momento angular de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo é dado por
onde:
-
é o momento angular (unidade ); -
é o momento de inércia em relação ao eixo considerado (unidade ); -
é a velocidade angular (unidade ).
Isso significa que, para calcular
, multiplicamos o momento de inércia pelo valor de
. Agora aplicamos essa fórmula para cada massa usando
e
dados.
Cálculo para cada ginasta (momento angular inicial em relação ao centro de massa):
Observação: os números foram calculados diretamente; note que todos ficam muito próximos de
.
Passo 3
Mudança de eixo (teoria e fórmula usada):
- Quando deslocamos o eixo paralelo ao que passa pelo centro de massa, o momento de inércia muda segundo o Teorema dos Eixos Paralelos (teorema de Steiner):
onde:
-
é o momento de inércia em relação ao novo eixo deslocado; -
é o momento de inércia em torno do centro de massa (dado); -
é a massa do corpo; -
é a distância entre os dois eixos (aqui ).
Calculemos primeiro
:
Agora aplicamos para cada massa:
Breve explicação física: o momento de inércia aumenta porque parte da massa ficou mais distante do eixo (aumenta a “alavanca” da massa), e essa distância entra como
.
Passo 4
Cálculo do novo momento angular (assumindo que a velocidade angular
não muda):
- Como
, com o novo teremos:
(todos os valores arredondados a duas casas decimais onde aplicável).
Interpretação rápida: os momentos angulares aumentaram porque os momentos de inércia aumentaram; se
fosse ajustada por conservação do momento angular (em um sistema isolado),
diminuiria em compensação — aqui não foi dito que
muda, então usamos o valor dado.
Passo 5
Resumo didático-final (para lembrar na prova):
- Para calcular momento angular: multiplicar
por . - Se o eixo é deslocado a uma distância
, usar . - Depois recalcular
. - Sempre manter unidades consistentes (
) e prestar atenção a arredondamentos.
Resposta
A:
,
B: ,
C: ,
B:
C: