Apresentados os seguintes momentos de inércia e velocidades angulares do eixo principal transversal, calcule o momento angular de cada um dos seguintes ginastas em relação ao centro de massa. Supondo que a massa da cada parte do corpo esta girando a 30 cm do seu centro de massa. Calcule o novo momento angular.
\mathrm{I}_{\mathrm{cg}}(\mathbf{k g} \cdot \mathbf{m 2}) \omega(\mathbf{r a d} / \mathbf{s})
A massa 3 kg 3,5 20,00
B massa 4 kg 7,0 10,00
C massa 5 kg 15,0 4,67

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o momento angular de cada ginasta em relação ao centro de massa (antes de deslocar as massas).
  • Supondo que cada parte do corpo (cada massa) passa a girar a 0,30\\ \mathrm{m} do seu próprio centro de massa, calcular o novo momento angular de cada ginasta.
Dados fornecidos (tirados da tabela do enunciado):
  • Massa A: m_A = 3\\ \mathrm{kg}, I_{\text{cg},A}=3,5\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}, \omega_A=20,00\\ \mathrm{rad/s}.
  • Massa B: m_B = 4\\ \mathrm{kg}, I_{\text{cg},B}=7,0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}, \omega_B=10,00\\ \mathrm{rad/s}.
  • Massa C: m_C = 5\\ \mathrm{kg}, I_{\text{cg},C}=15,0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}, \omega_C=4,67\\ \mathrm{rad/s}.
  • Deslocamento pedido: d=0,30\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Fórmula do momento angular em torno do centro de massa (explicação didática):
  • O momento angular de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo é dado por
L = I\,\omega,
onde:
  • L é o momento angular (unidade \mathrm{kg\cdot m^{2}/s});
  • I é o momento de inércia em relação ao eixo considerado (unidade \mathrm{kg\cdot m^{2}});
  • \omega é a velocidade angular (unidade \mathrm{rad/s}).
Isso significa que, para calcular L, multiplicamos o momento de inércia pelo valor de \omega. Agora aplicamos essa fórmula para cada massa usando I_{\text{cg}} e \omega dados.
Cálculo para cada ginasta (momento angular inicial em relação ao centro de massa):
L_A = I_{\text{cg},A}\,\omega_A = 3{,}5 \times 20{,}00 = 70{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
L_B = I_{\text{cg},B}\,\omega_B = 7{,}0 \times 10{,}00 = 70{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
L_C = I_{\text{cg},C}\,\omega_C = 15{,}0 \times 4{,}67 = 70{,}05\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
Observação: os números foram calculados diretamente; note que todos ficam muito próximos de 70\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.

Passo 3

Mudança de eixo (teoria e fórmula usada):
  • Quando deslocamos o eixo paralelo ao que passa pelo centro de massa, o momento de inércia muda segundo o Teorema dos Eixos Paralelos (teorema de Steiner):
I_{\text{novo}} = I_{\text{cg}} + m\,d^{2},
onde:
  • I_{\text{novo}} é o momento de inércia em relação ao novo eixo deslocado;
  • I_{\text{cg}} é o momento de inércia em torno do centro de massa (dado);
  • m é a massa do corpo;
  • d é a distância entre os dois eixos (aqui d=0{,}30\\ \mathrm{m}).
Calculemos primeiro d^{2}:
d^{2} = (0{,}30)^{2} = 0{,}09\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora aplicamos para cada massa:
I_{\text{novo},A} = 3{,}5 + 3 \times 0{,}09 = 3{,}5 + 0{,}27 = 3{,}77\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
I_{\text{novo},B} = 7{,}0 + 4 \times 0{,}09 = 7{,}0 + 0{,}36 = 7{,}36\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
I_{\text{novo},C} = 15{,}0 + 5 \times 0{,}09 = 15{,}0 + 0{,}45 = 15{,}45\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Breve explicação física: o momento de inércia aumenta porque parte da massa ficou mais distante do eixo (aumenta a “alavanca” da massa), e essa distância entra como m d^2.

Passo 4

Cálculo do novo momento angular (assumindo que a velocidade angular \omega não muda):
  • Como L = I\,\omega, com o novo I_{\text{novo}} teremos:
L_{\text{novo},A} = I_{\text{novo},A}\,\omega_A = 3{,}77 \times 20{,}00 = 75{,}4\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
L_{\text{novo},B} = I_{\text{novo},B}\,\omega_B = 7{,}36 \times 10{,}00 = 73{,}6\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
L_{\text{novo},C} = I_{\text{novo},C}\,\omega_C = 15{,}45 \times 4{,}67 = 72{,}15\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}
(todos os valores arredondados a duas casas decimais onde aplicável).
Interpretação rápida: os momentos angulares aumentaram porque os momentos de inércia aumentaram; se \omega fosse ajustada por conservação do momento angular (em um sistema isolado), \omega diminuiria em compensação — aqui não foi dito que \omega muda, então usamos o valor dado.

Passo 5

Resumo didático-final (para lembrar na prova):
  • Para calcular momento angular: multiplicar I por \omega.
  • Se o eixo é deslocado a uma distância d, usar I_{\text{novo}}=I_{\text{cg}}+m d^{2}.
  • Depois recalcular L_{\text{novo}}=I_{\text{novo}}\omega.
  • Sempre manter unidades consistentes ( \mathrm{kg},\\ \mathrm{m},\\ \mathrm{s}) e prestar atenção a arredondamentos.

Resposta

A: L=70{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}, L_{\text{novo}}=75{,}4\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}
B: L=70{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}, L_{\text{novo}}=73{,}6\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}
C: L=70{,}05\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}, L_{\text{novo}}=72{,}15\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}

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