Um saltador de trampolim de 100 kg , salta verticalmente para cima com velocidade inicial de
. Quão alto acima do trampolim o saltador vai? Supondo que ele se curve se assemelhando a um disco achatado de Momento de inercia
, em relação a seu centro de massa, realizando uma volta completas antes de atingir o topo da trajetória. Qual seria a altura que ele atingiria?
Passo 1
O enunciado dá um saltador com massa
que deixa o trampolim com velocidade vertical inicial
. Pergunta 1: quão alto acima do trampolim ele vai (máxima altura da trajetória do centro de massa) se considerarmos só movimento vertical? Pergunta 2: supondo que, no salto, ele gira como um disco achatado com momento de inércia
em relação ao seu centro de massa e que ele realiza exatamente uma volta completa antes de atingir o topo, qual será a altura máxima agora?
Informações relevantes dadas: ,
,
. Usaremos
.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Primeira parte — sem rotação: usar conservação de energia entre o instante imediatamente após o impulso (no qual o centro de massa tem velocidade
) e o ponto mais alto (velocidade vertical é zero). A energia mecânica inicial (cinética de translação) é convertida em energia potencial gravitacional. A equação de conservação de energia é
Aqui
é a massa,
é a velocidade inicial vertical,
é a aceleração da gravidade e
é a altura máxima buscada. Podemos simplificar dividindo por
:
Resolvendo para
:
Passo 3
Calculemos numericamente
sem rotação. Substituindo
e
:
Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Segunda parte — com rotação: primeiro precisamos do tempo que o saltador leva para subir até o topo (tempo de subida). Use cinemática vertical simples: a velocidade vertical no topo é zero, então
Resolvendo,
Substituímos
e
:
Passo 5
Se o saltador completa exatamente uma volta durante o tempo de subida, a sua velocidade angular (assumida constante, pois desprezamos torques externos) deve satisfazer
onde
é o deslocamento angular. Para uma volta completa
. Então
Substituindo
:
Passo 6
Energia de rotação: a energia cinética associada à rotação é
onde
é o momento de inércia em relação ao centro de massa e
é a velocidade angular. Aqui
. Calculamos
Calculemos
. Então
Passo 7
Interpretação física e hipótese usada: assumimos que a mesma quantidade de trabalho muscular total fornecida no impulso inicial resultaria em uma energia mecânica total inicial igual a
(o valor numérico obtido quando não consideramos que parte do esforço poderia ter sido maior). Se ele gasta parte dessa energia para girar, essa energia rotacional não contribui para subir o centro de massa. Assim a energia disponível para converter em energia potencial gravitacional é a energia cinética de translação remanescente:
Numericamente, a energia cinética inicial de translação é
Portanto a energia de translação remanescente é aproximadamente
Passo 8
Agora usamos conservação de energia para a subida do centro de massa com essa energia transladada: a energia transladada disponível vai virar energia potencial máxima:
Logo
Arredondando:
Passo 9
Comparação e observação: sem rotação obtivemos
. Com rotação (uma volta durante a subida) a altura cai para
. A diferença é pequena (
) porque o momento de inércia dado e o tempo de subida implicam uma energia rotacional relativamente pequena comparada à grande energia de translação inicial.