Um saltador de trampolim de 100 kg , salta verticalmente para cima com velocidade inicial de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Quão alto acima do trampolim o saltador vai? Supondo que ele se curve se assemelhando a um disco achatado de Momento de inercia \mathrm{I}=3 \mathrm{Kg} / \mathrm{m} 2, em relação a seu centro de massa, realizando uma volta completas antes de atingir o topo da trajetória. Qual seria a altura que ele atingiria?

Passo 1

O enunciado dá um saltador com massa \,m=100\\ \mathrm{kg}\, que deixa o trampolim com velocidade vertical inicial \,v_0=10\\ \mathrm{m/s}\,. Pergunta 1: quão alto acima do trampolim ele vai (máxima altura da trajetória do centro de massa) se considerarmos só movimento vertical? Pergunta 2: supondo que, no salto, ele gira como um disco achatado com momento de inércia \,I=3\\ \mathrm{kg\cdot m^2}\, em relação ao seu centro de massa e que ele realiza exatamente uma volta completa antes de atingir o topo, qual será a altura máxima agora?
Informações relevantes dadas: \,m=100\\ \mathrm{kg}\,, \,v_0=10\\ \mathrm{m/s}\,, \,I=3\\ \mathrm{kg\cdot m^2}\,. Usaremos g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Primeira parte — sem rotação: usar conservação de energia entre o instante imediatamente após o impulso (no qual o centro de massa tem velocidade \,v_0) e o ponto mais alto (velocidade vertical é zero). A energia mecânica inicial (cinética de translação) é convertida em energia potencial gravitacional. A equação de conservação de energia é
\frac{1}{2} m v_0^2 = m g h.
Aqui \,m é a massa, \,v_0 é a velocidade inicial vertical, \,g é a aceleração da gravidade e \,h é a altura máxima buscada. Podemos simplificar dividindo por m:
\frac{1}{2} v_0^2 = g h.
Resolvendo para h:
h = \frac{v_0^2}{2g}.

Passo 3

Calculemos numericamente \,h sem rotação. Substituindo \,v_0=10\\ \mathrm{m/s} e \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
h = \frac{10^2}{2\cdot 9{,}8} = \frac{100}{19{,}6} \approx 5{,}1020408\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente: \,h\approx 5{,}102\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Segunda parte — com rotação: primeiro precisamos do tempo que o saltador leva para subir até o topo (tempo de subida). Use cinemática vertical simples: a velocidade vertical no topo é zero, então
0 = v_0 - g t_{\text{subida}}.
Resolvendo,
t_{\text{subida}} = \frac{v_0}{g}.
Substituímos \,v_0=10\\ \mathrm{m/s} e \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
t_{\text{subida}} = \frac{10}{9{,}8} \approx 1{,}020408\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Se o saltador completa exatamente uma volta durante o tempo de subida, a sua velocidade angular (assumida constante, pois desprezamos torques externos) deve satisfazer
\theta = \omega t_{\text{subida}},
onde \theta é o deslocamento angular. Para uma volta completa \theta = 2\pi. Então
\omega = \frac{2\pi}{t_{\text{subida}}}.
Substituindo t_{\text{subida}}:
\omega = \frac{2\pi}{1{,}020408\\ \mathrm{s}} \approx 6{,}1575\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Energia de rotação: a energia cinética associada à rotação é
K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2,
onde \,I é o momento de inércia em relação ao centro de massa e \omega é a velocidade angular. Aqui \,I=3\\ \mathrm{kg\cdot m^2}. Calculamos
K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot (6{,}1575)^2 \\ \mathrm{J}.
Calculemos (6{,}1575)^2 \approx 37{,}918. Então
K_{\text{rot}} \approx 1{,}5 \times 37{,}918 \approx 56{,}88\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Interpretação física e hipótese usada: assumimos que a mesma quantidade de trabalho muscular total fornecida no impulso inicial resultaria em uma energia mecânica total inicial igual a \frac{1}{2} m v_0^2 (o valor numérico obtido quando não consideramos que parte do esforço poderia ter sido maior). Se ele gasta parte dessa energia para girar, essa energia rotacional não contribui para subir o centro de massa. Assim a energia disponível para converter em energia potencial gravitacional é a energia cinética de translação remanescente:
K_{\text{trans, disponível}} = \frac{1}{2} m v_0^2 - K_{\text{rot}}.í
Numericamente, a energia cinética inicial de translação é
\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2}\cdot 100 \cdot 10^2 = 5000\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia de translação remanescente é aproximadamente
K_{\text{trans, disp}} = 5000 - 56{,}88 \approx 4943{,}12\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Agora usamos conservação de energia para a subida do centro de massa com essa energia transladada: a energia transladada disponível vai virar energia potencial máxima:
m g h_{\text{com rotação}} = K_{\text{trans, disp}}.çã
Logo
h_{\text{com rotação}} = \frac{K_{\text{trans, disp}}}{m g} = \frac{4943{,}12}{100\cdot 9{,}8} = \frac{4943{,}12}{980} \approx 5{,}042979\\ \mathrm{m}.çã
Arredondando: \,h_{\text{com rotação}}\approx 5{,}043\\ \mathrm{m}.çã

Passo 9

Comparação e observação: sem rotação obtivemos \approx 5{,}102\\ \mathrm{m}. Com rotação (uma volta durante a subida) a altura cai para \approx 5{,}043\\ \mathrm{m}. A diferença é pequena ( \approx 0{,}059\\ \mathrm{m}) porque o momento de inércia dado e o tempo de subida implicam uma energia rotacional relativamente pequena comparada à grande energia de translação inicial.

Resposta

\,h_{\text{sem rotação}} \approx 5{,}102\\ \mathrm{m}çã
\,h_{\text{com uma volta}} \approx 5{,}043\\ \mathrm{m}

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