Apresentar a dedução matemática da função de juros composto a partir da função de juros simples e explicar a diferença entre os dois tipos de capitalização.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente deduzir matematicamente a função de juros composto a partir da função de juros simples e também explicar a diferença entre esses dois tipos de capitalização. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona o cálculo de juros simples e entender o que muda quando falamos de juros compostos.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a fórmula dos juros simples. Ela é bem direta:
J = P cdot i cdot t
Onde:
  • J é o valor dos juros,
  • P é o capital inicial (o valor emprestado ou investido),
  • i é a taxa de juros por período,
  • t é o tempo (número de períodos).
Essa fórmula calcula apenas os juros sobre o capital inicial, sem considerar os juros que já foram acumulados.

Passo 3

Agora, vamos pensar na capitalização composta. Diferente dos juros simples, aqui os juros gerados em cada período são adicionados ao capital, e no próximo período os juros são calculados sobre esse novo montante. Isso faz com que os juros cresçam de forma exponencial.
Para entender melhor, vamos imaginar que a cada ano o juros é adicionado ao capital.

Passo 4

Vamos deduzir a fórmula dos juros compostos passo a passo. Começamos com o capital inicial P .
No primeiro período, os juros são:
J1 = P cdot i
Então, o montante após o primeiro período é:
M1 = P + J1 = P (1 + i)
No segundo período, os juros são calculados sobre M1 :
J2 = M1 cdot i = P (1 + i) cdot i
E o montante após o segundo período é:
M2 = M1 + J2 = P (1 + i) + P (1 + i) cdot i = P (1 + i)^2
Perceba o padrão! A cada período, multiplicamos o montante anterior por (1 + i) .

Passo 5

Generalizando para t períodos, a fórmula fica:
M = P (1 + i)^t
Onde:
  • M é o montante final após t períodos,
  • P é o capital inicial,
  • i é a taxa de juros por período,
  • t é o tempo (número de períodos).
Essa é a função dos juros compostos.

Passo 6

Agora, vamos comparar as duas fórmulas para entender a diferença:
  • Juros Simples:
J = P cdot i cdot t
O montante final é:
M = P + J = P (1 + i cdot t)
  • Juros Compostos:
M = P (1 + i)^t
A principal diferença está na forma como os juros são calculados ao longo do tempo:
  • Nos juros simples, os juros são calculados sempre sobre o capital inicial.
  • Nos juros compostos, os juros são calculados sobre o capital inicial mais os juros acumulados em períodos anteriores.
Isso faz com que, com o tempo, o montante dos juros compostos cresça mais rápido que o dos juros simples.

Resposta

A fórmula dos juros compostos é deduzida a partir dos juros simples e é dada por:
M = P (1 + i)^t
Onde o montante final M cresce exponencialmente devido à capitalização dos juros sobre juros, diferentemente dos juros simples onde os juros são calculados apenas sobre o capital inicial.

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