Apresentar a dedução matemática da função de juros composto a partir da função de juros simples e explicar a diferença entre os dois tipos de capitalização.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente deduzir matematicamente a função de juros composto a partir da função de juros simples e também explicar a diferença entre esses dois tipos de capitalização. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona o cálculo de juros simples e entender o que muda quando falamos de juros compostos.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar a fórmula dos juros simples. Ela é bem direta:
Onde:
-
é o valor dos juros, -
é o capital inicial (o valor emprestado ou investido), -
é a taxa de juros por período, -
é o tempo (número de períodos).
Essa fórmula calcula apenas os juros sobre o capital inicial, sem considerar os juros que já foram acumulados.
Passo 3
Agora, vamos pensar na capitalização composta. Diferente dos juros simples, aqui os juros gerados em cada período são adicionados ao capital, e no próximo período os juros são calculados sobre esse novo montante. Isso faz com que os juros cresçam de forma exponencial.
Para entender melhor, vamos imaginar que a cada ano o juros é adicionado ao capital.
Passo 4
Vamos deduzir a fórmula dos juros compostos passo a passo. Começamos com o capital inicial
.
No primeiro período, os juros são:
Então, o montante após o primeiro período é:
No segundo período, os juros são calculados sobre
:
E o montante após o segundo período é:
Perceba o padrão! A cada período, multiplicamos o montante anterior por
.
Passo 5
Generalizando para
períodos, a fórmula fica:
Onde:
-
é o montante final após períodos, -
é o capital inicial, -
é a taxa de juros por período, -
é o tempo (número de períodos).
Essa é a função dos juros compostos.
Passo 6
Agora, vamos comparar as duas fórmulas para entender a diferença:
- Juros Simples:
O montante final é:
- Juros Compostos:
A principal diferença está na forma como os juros são calculados ao longo do tempo:
- Nos juros simples, os juros são calculados sempre sobre o capital inicial.
- Nos juros compostos, os juros são calculados sobre o capital inicial mais os juros acumulados em períodos anteriores.
Isso faz com que, com o tempo, o montante dos juros compostos cresça mais rápido que o dos juros simples.
Resposta
A fórmula dos juros compostos é deduzida a partir dos juros simples e é dada por:
Onde o montante final
cresce exponencialmente devido à capitalização dos juros sobre juros, diferentemente dos juros simples onde os juros são calculados apenas sobre o capital inicial.