Encontre os pontos críticos da função
e os classifique (como máximo, mínimo ou sela) utilizando o teste da segunda derivada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, nossa missão aqui é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, igualar a zero e resolver o sistema de equações.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema:
Da primeira equação, podemos isolar
:
Passo 5
Substituindo
na segunda equação:
Isso é uma equação quadrática. Vamos resolver para
:
Então, as soluções são:
Passo 6
Lembrando que
, temos os pontos críticos:
Passo 7
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 8
O teste da segunda derivada usa o determinante da matriz Hessiana, dado por:
Dependendo do valor de
e de
, classificamos o ponto crítico.
Passo 9
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para o ponto (3, 3):
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
Para o ponto (-1, -1):
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são
, que é um mínimo local, e
, que é um ponto de sela.