Encontre os pontos críticos da função f(x, y)=x^2+y^33-2 x y-3 y e os classifique (como máximo, mínimo ou sela) utilizando o teste da segunda derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função f(x, y) = x^2 + y^33 - 2xy - 3y e descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a x e y são iguais a zero. Então, nossa missão aqui é calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y , igualar a zero e resolver o sistema de equações.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x :
fx = partial fpartial x = 2x - 2y
Agora, a derivada parcial de f em relação a y :
fy = partial fpartial y = y^2 - 2x - 3

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema:
2x - 2y = 0 y^2 - 2x - 3 = 0
Da primeira equação, podemos isolar x :
2x = 2y Rightarrow x = y

Passo 5

Substituindo x = y na segunda equação:
y^2 - 2y - 3 = 0
Isso é uma equação quadrática. Vamos resolver para y :
y = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, as soluções são:
y = 3 ou y = -1

Passo 6

Lembrando que x = y , temos os pontos críticos:
(x, y) = (3, 3) e (x, y) = (-1, -1)

Passo 7

Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -2

Passo 8

O teste da segunda derivada usa o determinante da matriz Hessiana, dado por:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2
Dependendo do valor de D e de fxx , classificamos o ponto crítico.

Passo 9

Vamos calcular D para cada ponto crítico.
Para o ponto (3, 3):
fxx = 2
fyy = 2 cdot 3 = 6
fxy = -2
D = 2 cdot 6 - (-2)^2 = 12 - 4 = 8 > 0
Como D > 0 e fxx > 0 , esse ponto é um mínimo local.
Para o ponto (-1, -1):
fxx = 2
fyy = 2 cdot (-1) = -2
fxy = -2
D = 2 cdot (-2) - (-2)^2 = -4 - 4 = -8 < 0
Como D < 0 , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são (3, 3) , que é um mínimo local, e (-1, -1) , que é um ponto de sela.

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