Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO com segunda derivada
sujeita a
,
, usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
-
, . -
. - Teorema do deslocamento:
se .
Passo 2
Tomando Laplace em ambos os lados e usando as condições iniciais
,
, obtemos
Agrupando
,
Passo 3
Isolando
,
Definimos
de modo que
.
Passo 4
Fazemos frações parciais em
Procuramos
tais que
Multiplicando ambos os lados por
e comparando coeficientes, obtemos
Logo
Para inverter a segunda parte, escrevemos
Passo 5
Aplicando a transformada inversa e o deslocamento:
Pelo teorema do deslocamento, a solução da EDO é
onde
Resposta
Para
:
Para
: