Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
y^prime prime+5 y^prime-3 y=u(x-4) ; y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO com segunda derivada
y''+5y'-3y = u(x-4)
sujeita a y(0)=0, y'(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
  1. Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).
  2. Lu(x-a)=e^-a s/s.
  3. Teorema do deslocamento: L^-1e^-a sF(s)=f(x-a)u(x-a) se F(s)=Lf.

Passo 2

Tomando Laplace em ambos os lados e usando as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, obtemos
s^2Y(s)+5,sY(s)-3Y(s)=e^-4ss
Agrupando Y(s),
Y(s)l(s^2+5s-3r)=e^-4ss

Passo 3

Isolando Y(s),
Y(s)=e^-4ss,(s^2+5s-3)
Definimos
F(s)=1s,(s^2+5s-3),
de modo que Y(s)=e^-4sF(s).

Passo 4

Fazemos frações parciais em
F(s)=1s,(s^2+5s-3)
Procuramos A,B,C tais que
1s(s^2+5s-3)=As+Bs+Cs^2+5s-3
Multiplicando ambos os lados por s(s^2+5s-3) e comparando coeficientes, obtemos
A=-tfrac13, B=tfrac13, C=tfrac53
Logo
F(s)=-13,1s+13,s+5s^2+5s-3
Para inverter a segunda parte, escrevemos
s^2+5s-3=(s+tfrac52)^2-l(tfracraiz372r)^2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa e o deslocamento:
L^-1F(s)=-tfrac13+tfrac13,e^-52tl[coshl(tfracraiz372tr)+5raiz37sinhl(tfracraiz372tr)r]
Pelo teorema do deslocamento, a solução da EDO é
y(x)=f(x-4),u(x-4),
onde
f(t)=-tfrac13+tfrac13,e^-52tl[coshl(tfracraiz372tr)+tfrac5raiz37sinhl(tfracraiz372tr)r]

Resposta

Para x<4:
y(x)=0
Para x>=4:
y(x)=-13+13e^-52(x-4)l[cosh!l(tfracraiz372(x-4)r)+5raiz37sinh!l(tfracraiz372(x-4)r)r]

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