Apresentar, detalhadamente, os 8 passos que estudamos em aula, para definir o comportamento do gráfico da funçảo
f(x)=x^44-3 x^22+2 x+5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos analisar o comportamento do gráfico da função f(x) = x^44 - 3 x^22 + 2 x + 5 . Para isso, vamos seguir 8 passos que estudamos em aula, abordando tópicos como derivadas, pontos críticos, concavidade, entre outros.

Passo 2

Determinar o domínio da função. A função é um polinômio, e polinômios estão definidos para todos os números reais. Portanto, o domínio de f(x) é R .

Passo 3

Encontrar as interceptações com o eixo y. Para isso, calculamos f(0) :
f(0) = 0^44 - 3 cdot 0^22 + 2 cdot 0 + 5 = 5
Então, o gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, 5).

Passo 4

Encontrar as interceptações com o eixo x. Precisamos resolver f(x) = 0 :
x^44 - 3 x^22 + 2 x + 5 = 0
Multiplicando todos os termos por 4 para simplificar:
x^4 - 6x^2 + 8x + 20 = 0
Essa equação não tem soluções reais fáceis de encontrar, então concluímos que não há interceptações reais com o eixo x.

Passo 5

Calcular a primeira derivada f'(x) para determinar onde a função cresce ou decresce:
f'(x) = ddx(x^44) - ddx(3x^22) + ddx(2x) + ddx(5) = x^3 - 3x + 2
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x) = 0 :
x^3 - 3x + 2 = 0
Fatorando:
(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0 Rightarrow (x - 1)(x + 2)(x - 1) = 0
Então, os pontos críticos são x = 1 e x = -2 .

Passo 6

Determinar se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3
Avaliar f''(x) nos pontos críticos:
  • Em x = 1 :
f''(1) = 3(1)^2 - 3 = 0
Como a segunda derivada é zero, precisamos usar outro método, como a derivada primeira.
  • Em x = -2 :
f''(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0
Como f''(-2) > 0 , x = -2 é um ponto de mínimo.

Passo 7

Analisar o comportamento para x tendendo ao infinito e menos infinito. Observando o termo de maior grau x^44 , que domina o comportamento da função. Como o coeficiente é positivo e o grau é par, sabemos que:
limx to pminfty f(x) = +infty
Portanto, os ramos do gráfico sobem para ambos os lados.

Passo 8

Determinar a concavidade e possíveis pontos de inflexão. A segunda derivada f''(x) = 3x^2 - 3 nos ajuda nisso. Resolver f''(x) = 0 :
3x^2 - 3 = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
Então, os pontos de inflexão estão em x = 1 e x = -1 . Para concavidade:
  • Para x < -1 e x > 1 , f''(x) > 0 , indicando concavidade para cima.
  • Para -1 < x < 1 , f''(x) < 0 , indicando concavidade para baixo.

Resposta

Após seguir os 8 passos, concluímos que o gráfico de f(x) = x^44 - 3 x^22 + 2 x +5 é um polinômio de quarto grau com um ponto de mínimo em x = -2 , sem interceptações reais com o eixo x, concavidade para baixo entre x = -1 e x =1 , e concavidade para cima fora desse intervalo. Além disso, o gráfico sobe para x tendendo a pminfty e intercepta o eixo y no ponto (0, 5).

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