Apresentar, detalhadamente, os 8 passos que estudamos em aula, para definir o comportamento do gráfico da funçảo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos analisar o comportamento do gráfico da função
. Para isso, vamos seguir 8 passos que estudamos em aula, abordando tópicos como derivadas, pontos críticos, concavidade, entre outros.
Passo 2
Determinar o domínio da função. A função é um polinômio, e polinômios estão definidos para todos os números reais. Portanto, o domínio de
é
.
Passo 3
Encontrar as interceptações com o eixo y. Para isso, calculamos
:
Então, o gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, 5).
Passo 4
Encontrar as interceptações com o eixo x. Precisamos resolver
:
Multiplicando todos os termos por 4 para simplificar:
Essa equação não tem soluções reais fáceis de encontrar, então concluímos que não há interceptações reais com o eixo x.
Passo 5
Calcular a primeira derivada
para determinar onde a função cresce ou decresce:
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Fatorando:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Determinar se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada
:
Avaliar
nos pontos críticos:
- Em
:
Como a segunda derivada é zero, precisamos usar outro método, como a derivada primeira.
- Em
:
Como
,
é um ponto de mínimo.
Passo 7
Analisar o comportamento para
tendendo ao infinito e menos infinito. Observando o termo de maior grau
, que domina o comportamento da função. Como o coeficiente é positivo e o grau é par, sabemos que:
Portanto, os ramos do gráfico sobem para ambos os lados.
Passo 8
Determinar a concavidade e possíveis pontos de inflexão. A segunda derivada
nos ajuda nisso. Resolver
:
Então, os pontos de inflexão estão em
e
. Para concavidade:
- Para
e , , indicando concavidade para cima. - Para
, , indicando concavidade para baixo.
Resposta
Após seguir os 8 passos, concluímos que o gráfico de
é um polinômio de quarto grau com um ponto de mínimo em
, sem interceptações reais com o eixo x, concavidade para baixo entre
e
, e concavidade para cima fora desse intervalo. Além disso, o gráfico sobe para
tendendo a
e intercepta o eixo y no ponto (0, 5).