Encontre o limite a seguir. Apresentar o raciocínio de forma organizada! Passos diretos não serāo pontuados.
lim x 0(e^x+x)^1x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite de (e^x + x)^1x quando x se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, exponenciais e logaritmos. Vamos passo a passo entender como chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar esse limite de L:
L = limx to 0 (e^x + x)^1x
Para facilitar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
ln(L) = limx to 0 1x ln(e^x + x)
Isso nos ajuda a lidar melhor com o expoente 1x.

Passo 3

Agora, precisamos simplificar ln(e^x + x). Sabemos que quando x está próximo de 0, a função exponencial pode ser aproximada por:
e^x approx 1 + x + x^22
Então,
e^x + x approx 1 + x + x^22 + x = 1 + 2x + x^22

Passo 4

Com isso, a expressão dentro do logaritmo fica:
ln(1 + 2x + x^22)
Usando a aproximação do logaritmo para valores pequenos ( ln(1 + u) approx u - u^22), temos:
ln(1 + 2x + x^22) approx 2x + x^22 - (2x)^22 = 2x + x^22 - 2x^2 = 2x - 3x^22

Passo 5

Voltando à expressão de ln(L):
ln(L) = limx to 0 2x - 3x^22x = limx to 0 (2 - 3x2) = 2
Então, temos que ln(L) = 2.

Resposta

Finalmente, para encontrar L, elevamos e ao resultado encontrado:
L = e^2
Então, o limite é e^2.

Exercícios relacionados