Encontre o limite a seguir. Apresentar o raciocínio de forma organizada! Passos diretos não serāo pontuados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, exponenciais e logaritmos. Vamos passo a passo entender como chegar nessa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar esse limite de
:
Para facilitar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Isso nos ajuda a lidar melhor com o expoente
.
Passo 3
Agora, precisamos simplificar
. Sabemos que quando
está próximo de 0, a função exponencial pode ser aproximada por:
Então,
Passo 4
Com isso, a expressão dentro do logaritmo fica:
Usando a aproximação do logaritmo para valores pequenos (
), temos:
Passo 5
Voltando à expressão de
:
Então, temos que
.
Resposta
Finalmente, para encontrar
, elevamos
ao resultado encontrado:
Então, o limite é
.